第2讲 不等式选讲(大题)
热点一 含绝对值不等式的解法 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；
(2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式；
(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.
例1 (2019·郴州质检)已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－1|. (1)求不等式f(x)≤3的解集；
21
(2)若函数y＝f(x)的图象的最低点为(m，n)，正数a，b满足ma＋nb＝2，求＋的取值范围.
ab解 (1)当x≤－1时，f(x)＝－3x＋1≤3， 2
得x≥－，所以x∈?，
3
当－1 4 当x≥1时，f(x)＝3x－1≤3，得x≤， 34 所以1≤x≤， 3 40，?. 综上，不等式的解集为??3?－3x＋1，x≤－1， ?? (2)由f(x)＝?－x＋3，－1 ??3x－1，x≥1 的图象的最低点为(1,2)， 即m＝1，n＝2，所以a＋2b＝2， 因为a>0，b>0， 21?1?4ba?211 所以＋＝(a＋2b)??a＋b?＝2?4＋a＋b? ab21 ≥(4＋24)＝4， 2 当且仅当a＝2b＝1时等号成立， 21 所以＋的取值范围是[4，＋∞). ab 跟踪演练1 设函数f(x)＝|2x－a|＋5x，其中a>0. (1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值. 解 (1)当a＝3时，不等式f(x)≥5x＋1， 即|2x－3|＋5x≥5x＋1， 即|2x－3|≥1，解得x≥2或x≤1， ∴不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1或x≥2}. (2)由f(x)≤0，得|2x－a|＋5x≤0， aa??x≥，x0， ?a? x≤－?， ∴不等式f(x)≤0的解集为?x?3? ? ? a 由题意得－＝－1，解得a＝3. 3 热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题 绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式. (2)转化最值：f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x) 例2 (2019·聊城模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋2|x＋1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≤4 的解集； (2)设不等式f(x)≤|2x＋4|的解集为M，若[0,3]?M，求a的取值范围. 解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋2|x＋1|， 当x≥1时，若f(x)≤4，即x－1＋2x＋2≤4， 解得x≤1，故x＝1， 当－1 当x≤－1时，若f(x)≤4，即1－x－2x－2≤4， 55 解得x≥－，故－≤x≤－1， 335 －，1?. 综上，不等式的解集是??3?(2)若[0,3]?M， 则问题转化为|x－a|＋2|x＋1|≤|2x＋4|在[0,3]上恒成立， 即|x－a|≤2x＋4－2x－2＝2， 故－2≤x－a≤2， 故－2－x≤－a≤2－x在[0,3]上恒成立， 即x－2≤a≤x＋2在[0,3]上恒成立， 故1≤a≤2， 即a的取值范围是[1,2]. 跟踪演练2 (2019·广州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|<5. (2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围. 解 (1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5， 所以－7<|x－1|<3， 解得－2 故所求不等式的解集为(－2,4). (2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R， 使得f(x1)＝g(x2)成立， 所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}， 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)| ＝|a＋3|， 当且仅当(2x－a)(2x＋3)≤0时等号成立， g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2， 解得a≥－1或a≤－5， 所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞). 热点三 不等式的证明 1.证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明. 2.对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式. 3.对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数). 4.如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法. 例3 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|. (1)解不等式f(x)≤x＋1； a2b2 (2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c，求证：＋≥1. a＋1b＋1(1)解 f(x)≤x＋1，即|x－1|＋x－3≤x＋1. ①当x<1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，解得x≥1. 又∵x<1，∴x∈?； ②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，解得x≥1. 又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3； ③当x>3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，解得x≤5. 又∵x>3，∴3 当且仅当(x－1)(x－3)≤0，即1≤x≤3时，等号成立， ∴c＝2，即a＋b＝2. 令a＋1＝m，b＋1＝n， 则m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4， a2 b2 m－1)?n－1?(＝＋ 2 2 || [] | || ( )| ＋a＋1b＋1 mn 1144 ＝m＋n＋＋－4＝≥＝1， mnmn?m＋n? ??2 ?2? 当且仅当m＝n＝2时，等号成立，∴原不等式得证. 跟踪演练3 已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)<6的解集. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，求证：|ab＋1|>|a＋b|. (1)解 f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|<6. 1 当x<－时，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x， 3
板块2 核心考点突破拿高分 专题7 第2讲 不等式选讲（大题）（教师版）备战2020年高考理科数学二轮复习提分
