适用学科 适用区域 知识点
高中数学 苏教版
适用年级 课时时长(分钟)
高二 ２课时
１、恒成立问题 2。存在性问题
教学目标
１、 能利用导数熟练解决恒成立问题 、 2、 能利用导数熟练解决存在性问题
教学重点 教学难点
【知识导图】
分辨恒成立问题、存在性问题 理解最大最小值成立
教学过程 【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节,是为了激发学生的学习兴趣,帮助学生尽快进入学习状态、
导入的方法特不多,仅举两种方法:
① 情境导入,比如讲一个与本讲内容有关的生活现象;
② 温故知新,在知识体系中,从学生已有知识入手,揭示本节知识与旧知识的关系,帮学生
建立知识网络、
极值与最值的区不与联系
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是函数在整个定义域上的情况,是对函数在整个定义域上的函数值的比较、
(2)函数的极值不一定是最值,需对极值与区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在
区间内的单调性、
(３)假如连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值、
(４)可用函数的单调性求ｆ(x)在区间上的最值,若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(ｘ)的最大值为ｆ(b),最小值为f(a),若ｆ(x)在[a,b］上单调递减,则f(ａ)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值、
(1):恒成立; 恒成立问题的转化考点1 恒成立问题 (2)能成立问题的转化:能成立;
(3)恰成立问题的转化:在Ｍ上恰成立的解集为Ｍ
另一转化方法:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在Ｄ上恰成立,则等价于在Ｄ上的最大值、
(4)若不等式在区间Ｄ上恒成立,则等价于在区间D上函数与图象在函数图象上方; (５)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间Ｄ上函数与图象在函数图象下方;
(１)设函数、,对任意的,存在,使得,则 (2)设函数、,对任意的,存在,使得,则。
(３)设函数、,对任意的,存在,使得,则在上的值域M是在上的值域N的子集。即:MN。 (4)设函数、,存在,存在,使得,则 (5)设函数、,存在,存在,使得,则
类型一 恒成立问题 三 、例题精析 例题1
已知函数,,其中,、对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
【解析】由成立,只需满足的最小值大于即可、对求导,,故在是增函数,,因此的取值范围是、 【总结与反思】 在函数的导数应用中极值与最值往往都的联立出现的,尤其是最值的求解过程中,一定会涉及到极值的求解部分,因此也能够讲:极值不一定是最值,然而最值一定是极值、 例题2
已知ｆ(x)=ax３+cｘ＋d(a≠0)是R上的奇函数,当x＝1时,ｆ(x)取得极值—2、
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明对任意x1、x２∈(—1,1),不等式|f(x1)—f(x2)｜〈４恒成立、 解:(1)由f(x)＝aｘ3+cx+d(ａ≠0)是R上的奇函数,知f(0)=０,解得d＝0, 因此f(x)=ax3+cx(ａ≠0),ｆ′(ｘ)=3ax2+ｃ(a≠0)、
由当x＝1时,f(x)取得极值—2,得f(１)＝a+ｃ＝-2,且ｆ′(1)＝3a＋c=０,解得
ａ＝1,c＝—３,因此f(x)=x3—3x、
(2)令ｆ′(x)>０,解得x〈—１,或ｘ〉１;令f′(x)〈0,解得－1＜x〈1, 从而函数f(ｘ)在区间(—∞,—1)内为增函数,(-１,1)内为减函数, 在(1,＋∞)内为增函数、
故当x∈［-1,1]时,f(x)的最大值是f(—1)＝２,最小值是f(1)=－2, 因此,对任意x1、x2∈(-1,１),|f(ｘ1)—f(x２)|〈２—(－２)＝4、
【总结与反思】 在函数的导数应用中极值与最值往往都的联立出现的,尤其是最值的求解过程中,一定会涉及到极值的求解部分,因此也能够讲:极值不一定是最值,然而最值一定是极值。
类型二 存在性问题
例题1
已知,函数,设在上是单调函数,求的取值范围、
【解析】依照题意,,,当时,在上为单调函数的充要条件是,,解,综上,在上为单调函数的充要条件
《选修11：导数的应用：恒成立问题、存在性问题》教案
