07级《概率论》期末考试试题A卷及答案
一、 填空题（满分15分）：
1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为
1 。 10解答：p1?2?3!1? 5!102.设P(A)?p,P(B)?q,P(A?B)?r,则P(AB)? r?q 。 解答：P(AB)?P(A?B)?P[(A?B)?B)]?P(A?B)?P(B)?r?q 3.设随机变量?的分布列为 P(X?k)?则a =
a,k?0,1,2,... 3k2 . 3解答：1??k?0?a132?a??a?a?
1233k1?34.设随机变量为?与?，已知D?=25,D?=36,??,??0.4, 则D(?-?)= 37 . 解答：
D(???)?D??D??2cov(?,?)??,??cov(?,?)D?D?
D(???)?D??D??2D?D???,??25?36?2?5?6?0.4?375. 设随机变量?服从几何分布P(??k)?qk?1p,k?1,2,...。则?的特征函数
f?(t)? 。
解:f??t??E(e)??eqit?itkk?1?k?1p?peit??qe?k?1?itk?1peit?. it1?qe二、 单项选择题（满分15分）：
1.设.A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).
① A?B?C. ② ABC?ABC?ABC ③ ??ABC. ④ ABC?ABC?ABC?ABC
2.下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.
??exx?0①.F?x???
?1x?0?x?0?0③??x???x
1?ex?0???e?xx?0 ②G?x???
?1x?0?x?0?0 ④H?x????x
1?ex?0?
3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（② ）。
?n?kn?k①P(??k)???k??p(1?p),0?p?1,k?0,1,...,n .
??3k1)?k,k?1,2,.... ②P(??(?1)k3k③P(??k)??kk!e??,??0,k?0,1,2.. .
k?1④. P(??k)?(1?p)p, 0?p?1,k?1,2,...
224.设(?,?)服从二维正态分布N(a1,a2;?1,?2;r)，r?0是?,?独立的（ ③ ）。 ①充分但不必要条件 . ②必要但不充分条件.
③充分且必要条件 . ④.既不充分也不必要条件.
5. 设随机变量?1、?2为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为（ ③ ）。
① 二项分布 ②. 泊松分布 ③均匀分布. ④ 正态分布
三、（满分20分）
（1）把长度为a的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概率。
解：设x、y分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为a?(x?y)，则
???(x,y)0?x?a,0?y?a,0?x?y?a?，
又设
A=“三条线段能构成一个三角形”
=(x,y)x?y?a?(x?y),x?a?(x?y)?y,y?a?(x?y)?x =??x,y?x?y?????aaa?,x?,y??, 222?1a2a2，则 A的面积为?()?22812aA的面积81P(A)??2?。
?的面积4a2（2）炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为、、,而在各处射击时命中目标的概率分别为、、,现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
解：设A表示“目标被击中”，B1表示“炮弹距目标250米射出”，B2表示“炮弹距目标200米射出”，B3表示“炮弹距目标150米射出”，
P(B1A)?P(B1)P(AB1)?P(B)P(AB)iii?13?0.1?0.051= ?0.1?0.05?0.7?0.1?0.2?0.223四、（满分16分）设?,?的密度函数为
?8xyp?x,y????00?x?y?1其他
求：（1）求?,?的边际密度函数；（2）?,?是否相互独立？为什么？（3）pxy；（4）E?。
解：(1)
1??8x?ydyp?(x)??p(x,y)dy??x????00?x?1?4x1?x2??,其他0?????0?x?1其他
???4y3同理p?(y)???00?y?1其他.（2）因为p(x,y)?p?(x)p?(y)，故?与?不独立. （3）当0?y?1时，
?8xy?p?xy???4y3??02x0?x?y??2??y其它??00?x?y
其它
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