第4章 机械振动
4.1基本要求
1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系
2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析
3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义
4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点
4.2基本概念
1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 x?Acos(?t??)
2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率? 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即T?1?
5．圆频率? 作简谐振动的物体在2?秒内完成振动的次数，它与频率的关系为
??2??2?? T6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中?t??项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位?
7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
1212kx?kAcos2(?t??) 221112动能Ek?mv2?m???Asin(?t??)??m?2A2sin2(?t??)
222弹性势能Ep?弹簧振子系统的机械能为E?Ek?Ep?11m?2A2?kA2 228．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律
1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的
物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（??0）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
E1E?kA22EkOxEptOt
图4.1 弹簧振子的动能和势能随时间的变化
2．简谐振动的合成
若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即
x1?A1cos(?t??1) x2?A2cos(?t??2)
合振动仍是一个角频率为?的简谐振动。 合位移x?x1?x2?Acos(?t??)
2?2A1A2cos(?2??1) 合振动的振幅A?A12?A2合振动的初相tan??A1sin?1?A2sin?2
A1cos?1?A2cos?2振动加强：????2??1??2kπ， (k?0 ， 1 ， 2,) A?A1?A2 振动减弱：????2??1??(2k?1)π， (k? 1, 2, 3) A?A1?A2 当?2??1取其他值时 A1?A2?A?A1?A2
若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。
若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。 若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。
4.4学习指导
1．重点解析
简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型： （1）已知简谐振动表达式求有关物理量
（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式
对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式x?Acos(?t??)加以比较，结合有关公式求得各物理量。
对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A、?、?,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。
其中角频率?由系统的性质决定,?2?k振幅A可由初始条件求出，A?x0?2m.
；或从振动曲线上直接看出。
v02?初相?有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到tan???v0,这里?有两个?x0值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。
例 如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。 分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A、?、?。利用振动曲线可以看出A?4?10?2m，t=0时刻，质点位移x0??用这些信息可以确定?、?。 解：方法1 解析法 t=0时，x0??2A，于是有 22A 22A，t=0.5s时，x=0。利2x0?Acos???图4-2
3解得：????
4由t=0时刻对应的曲线斜率
v0??A?sin??0
dx?0可知，所以质点速度v0?0，即： dt3所以????
4为求?，先写出质点振动方程
3x?4?10?2cos(?t??)m
4将t=0.5s，x=0代入上式得
cos(?3??)?0，同样结合该点的速度方24图4-3
向可以得到???2，所以质点的振动方程是
?3x?4?10?2cos(t??)m
24方法2：旋转矢量法
由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移x0??2A，质点速度v0?0，对应的旋23转矢量如图4-3所示，由图可知????。
4t=0.5s时，x=0，v?0。此运动状态对应矢量OP，即旋转矢量由t=0时的OM经0.5s转至OP，共转了质点的振动方程是
??，??4rad?s?1?rad?s?1 40.52??3x?4?10?2cos(t??)m
242．难点释疑 疑难点1 旋转矢量
自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量A在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率?相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量A的矢端在Ox轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐振动。旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。
图4-4
表4-1 旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系
旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。
大物习题答案第4章 机械振动
