2019年高考数学冲刺 排列组合、二项式定理专题总结
【高考展望】
命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．
预计2019高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．
复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心． 【知识升华】
一、排列与组合
1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.
2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.
3、排列与组合的主要公式 ①排列数公式：An?nmn!?n(n?1)???(n?m?1) (m≤n)
(n?m)!An=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1. ②组合数公式：Cn?mn!n(n?1)???(n?m?1)? (m≤n).
m!(n?m)!m?(m?1)?????2?1mn?m012nn③组合数性质：①Cn?Cn(m≤n). ②Cn?Cn?Cn?????Cn?2 02413n?1③Cn?Cn?Cn????Cn?Cn?????2
4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.
5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.
6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.
7、常见的解题策略有以下几种： （1）特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略； （7）定序问题除法处理的策略； （8）分排问题直排处理的策略；
（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； （10）构造模型的策略. 二、二项式定理 1、二项式定理
(a +b)n =Cnan +Cnan1b+…+Cnanrbr +…＋Cnbn，其中各项系数就是组合数Cn，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =Cnanrbr.
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第r+1项Tr+1=Cnanrbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 3、二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即Cn= Cn (r=0,1,2,…,n).
rn?r01－
r－
nrr－
r－
n2；若n是奇数，则中间两项(第②若n是偶数，则中间项(第?1项)的二项公式系数最大，其值为Cn2n?1n?3项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为Cn2= Cn2. 22③所有二项式系数和等于2n，即Cn+Cn＋Cn+…+Cn=2n. ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即Cn+Cn+…=Cn+Cn+…=2n1.
0213―
nn?1n?1012n4、二项式定理解题：四大热点，四条规律：
（1）四大热点：①通项运用型；②系数配对型；③系数和差型；④综合应用型.
（2）四条规律：①常规问题通项分析法；②系数和差赋值法；③近似问题截项法；④整除（或余数）问题展开法. 【典型例题】
类型一、分类计数原理与分步计数原理
【例1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
【思路点拨】颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法．
【解析】如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．
①当第2、第3个小方格涂不同颜色时，有A4＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知，有5×4×4＝80(种)不同涂法．
由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法． 【总结升华】涂色问题的解决方法
(1)涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个原理与排列组合的知识灵活处理，其难点是对相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论的方法，根据“两个原理”计算．
(2)本题也可以考虑对使用的颜色的种数进行分类，如果使用2种颜色，则只能是第1,4涂一种、第
222,3涂一种，方法数是C5A2＝20；若是使用3种颜色，若第1,2,3方格不同色，第4个方格只能和第133个方格相同，方法数是C5A3＝60，如果第1,2,3方格只用两种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，344方法数是C5×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法数是C5A4＝120.根据加法原理总的涂法种数是260.
21 3 2 4 举一反三： 【变式】
1．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)． 【答案】7 200
【解析】其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的
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