第六屆中國東南地區數學奧林匹克
第一天
1. 試求滿足方程x2?2xy?126y2?2009的所有整數對(x,y)。
2. 在凸五邊形ABCDE中，已知AB=DE、BC=EA、AB?EA，且B、C、D、E四點共圓。證明：A、B、C、D四點共圓的充分必要條件是AC=AD。 3. 設x,y,z?R?，a?x(y?z)2,
（2009年7月28日 上午8：00－12：00） 江西·南昌
b?y(z?x)2,c?z(x?y)2。求證：
a2?b2?c2?2(ab?bc?ca)。
4. 在一個圓周上給定十二個紅點；求n的最小值，使得存在以紅點為頂點的n個三角形，滿足：以紅點為端點的每條弦，都是其中某個三角形的一條邊。
第二天
（2009年7月29日 上午8：00－12：00） 江西·南昌
5. 設1、2、3、…、9的所有排列X?(x1,x2,,x9)的集合為A；?X?A，記
f(X)?x1?2x2?3x3??9x9，M?{f(X)X?A}；求M。(其中M表示集合M的元素個數) 6. 已知O、I分別是?ABC的外接圓和內切圓。證明：過
O上的任意一點D，都可以作一個三角形DEF，使得O、I分別是?DEF的外接圓和內切圓。
BEDAFOICx(2y?z)y(2z?x)z(2x?y)??7. 設f(x,y,z)?， 其中x,y,z?0 ，且
1?x?3y1?y?3z1?z?3xx?y?z?1。求f(x,y,z)的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中，最少需要挖去幾個小方格，才能使得無法從剩餘的方格表中裁剪出一片形狀如下完整的T型五方連塊？
1
答案
1. 設整數對(x,y)滿足方程
x2?2xy?126y2?2009?0(1)
將其看作關於x的一元二次方程，其判別式??4y2?4??126y2?2009?
?500(42?y2)?36的值應為一完全平方數； 若y2?42，則??0； 若y2?42，則y2可取0,12,22,32，相應的?值分別為8036、7536、6036和3536，它們皆不為平方數；
因此，僅當y2?42時，??500?42?y2??36?62為完全平方數。
若y = 4，方程(1)化為x2?8x?7?0， 解得x=1或x=7；
若y??4，方程(1)化為 x2?8x?7?0，解得x??1或x??7。
綜上可知，滿足原方程的全部整數對為：?x,y???1,4?,?7,4?,??1,?4?,??7,?4?。 2. 必要性：若A、B、C、D共圓，則由AB=DE、BC=EA，得?BAC??EDA，?ACB??DAE，所以?ABC??DEA，故得AC=AD。 充分性：記BCDE所共的圓為O，若AC=AD，則圓
A心O在CD的中垂線AH上，設點B關於AH的對稱點為F，則F在O上，且因AB?EA，即DE?DF，E所以E、F不共點，且?AFD?ABC，又由AB=DE、BFBC=EA，知?AED?CBA，因此，?AED?DFA，故
H由?AED??DFA，得AEFD共圓，即點A在DEFCD上，也即點A在O上，從而A、B、C、D共圓。 3. 先證a,b,c不能構成三角形的三邊。因為
b?c?a??(y?z)(z?x)(x?y)c?a?b??(z?x)(x?y)(y?z) a?b?c??(x?y)(y?z)(z?x)所以
(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)??(y?z)(z?x)(x?y)?(y?z)(z?x)(x?y)??02
於是
2(ab?bc?ca)?(a2?b2?c2)?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)
?0故a2?b2?c2?2(ab?bc?ca)。
2
4. 設紅點集為：A??A1,A2,,A12?，過點A1的弦有11條，而任一個含頂點A1的三角形，恰含兩條過點A1的弦，故這11條過點A1的弦，至少要分佈於6個含頂點A1的三角形中；
同理知，過點Ai(i?2,3,,12)的弦，也各要分佈於6個含頂點Ai的三角形中，這樣就需要12?6?72個三角形，而每個三角形有三個頂點，故都被重
72複計算了三次，因此至少需要?24個三角形．
312111再說明，下界24可以被取到．不失一般性，考慮周長為
10212的圓周，其十二等分點為紅點，以紅點為端點的弦共
239有C12?66條．若某弦所對的劣弧長為k，就稱該弦的刻
4度為k；於是紅端點的弦只有6種刻度，其中，刻度為1、87562、…、5的弦各12條，刻度為6的弦共6條；
如果刻度為a、b、c (a?b?c)的弦構成三角形的三條邊，則必滿足以下兩條件之一：或者a+b=c；或者a+b+c=12；
於是紅點三角形邊長的刻度組?a,b,c?只有如下12種可能：(1, 1, 2)、(2, 2, 4)、(3, 3, 6)、(2, 5, 5)、(1, 2, 3)、(1, 3, 4)、(1, 4, 5)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)、(2, 4, 6)、(3, 4, 5)、(4, 4, 4)；
下面是刻度組的一種搭配：取(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型各六個，(4, 4, 4)型四個；這時恰好得到66條弦，且其中含刻度為1、2、…、5的弦各12條，刻度為6的弦共6條；
今構造如下：先作(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型的三角形各六個，(4, 4, 4)型的三角形三個，再用三個(2, 4, 6)型的三角形來補充．
(1, 2, 3)型六個：其頂點標號為：{2, 3, 5}、{4, 5, 7}、{6, 7, 9}、{8, 9, 11}、{10 ,11, 1}、{12, 1, 3}；
(1, 5, 6)型六個：其頂點標號為：{1, 2, 7}、{3, 4, 9}、{5, 6, 11}、{7, 8, 1}、{9, 10 ,3}、{11, 12, 5}；
(2, 3, 5)型六個：其頂點標號為：{2, 4, 11}、{4, 6, 1}、{6, 8, 3}、{8, 10, 5}、{10 ,12, 7}、{12, 2, 9}；
(4, 4, 4)型三個：其頂點標號為：{1, 5, 9}、{2, 6, 10}、{3, 7, 11}； (2, 4, 6)型三個：其頂點標號為：{4, 6, 12}、{8, 10, 4}、{12, 2, 8}。
(每種情況下的其餘三角形都可由其中一個三角形繞圓心適當旋轉而得)。 這樣共得到24個三角形，且滿足本題條件，因此，n的最小值為24。 5. 我們一般地證明，若n?4，對於前n個正整數1、2、…、n的所有排列Xn?(x1,x2,,xn)構成的集合A，若f(Xn)?x1?2x2?3x3??nxn，
n3?n?6。 Mn?{f(X)X?A}，則Mn?6下面用數學歸納法證明：
3
n(n?1)(2n?1)??n(n?1)(n?2)n(n?1)(n?2)Mn??,?1,,?
666??當n=4時，由排序不等式知，集合M中的最小元素是f??4,3,2,1???20，最
大元素是f??1,2,3,4???30。
又 f??3,4,2,1???21,f??3,4,1,2???22,f??4,2,1,3???23,
f??3,2,4,1???24,f??2,4,1,3???25,f??1,4,3,2???26,f??1,4,2,3???27, f??2,1,4,3???28,f??1,2,4,3???29
43?4?6所以 M4??20,21,,30?共有11=個元素。因此n=4時命題成立。
6假設命題在n?1(n?5)時成立；考慮命題在n時的情況．對於1、2、…、n?1的任一排列Xn?1?(x1,x2,,xn?1)，恒取xn?n，得到1、2、…、n的一個排列
x1,x2,,xn?1,n，則?kxk?n??kxk。由歸納假設知，此時?kxk取遍區間
2k?1k?1k?1nn?1n2?2(n?1)n(n?1)2(n?1)n(2n?1)??n(n?5)n(n?1)(2n?1)?上所有n?,n???,???6666????整數。再令xn?1，則
nn?1n?1n(n?1)n(n?1)n?1kxk?n??kxk?n??k(xk?1)????k(xk?1) ?22k?1k?1k?1k?1再由歸納假設知，?kxk取遍區間
k?1n2?n(n?1)(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)(2n?1)??n(n?1)(n?2)2n(n?2)??,???,???262666????n2n(n2?2)n(n2?5)上的所有整數。因為，所以，?kxk取遍區間?66k?1?n(n?1)(n?2)n(n?1)(2n?1)?,上的所有整數，即命題對n也成立．由數學??66??n(n?1)(2n?1)n(n?1)(n?2)n3?n?6歸納法知，命題成立。由於，從而，??666n3?n?6集合Mn的元素個數為．特別是，當n=9時，M?M9?121．
66. 如圖，設OI=d，R、r分別是?ABC的外接圓和內切圓
A半徑，延長AI交O於K，則KI?KB?2Rsin，
2r，延長OI交O於M、N；則AI?Asin2 4
DIMBOAFNCPKE?R?d??R?d??IM?IN?AI?KI?2Rr，即R2?d2?2Rr；
過D分別作I的切線DE、DF，E、F在O上，連EF，則DI平分?EDF，只要證，EF也與I相切；
DrO?P，則P是EF的中點，連PE，則PE?2Rsin，DI?設DI，
D2sin222ID?IP?IM?IN??R?d??R?d??R?d，所以
R2?d2R2?d2DDPI???sin?2Rsin?PE
DIr22由於I在角D的平分線上，因此點I是?DEF的內心
11D?E (這是由於，?PEI??PIE??1800??P???1800??F??，而
222DE?PEF?，所以?FEI?，點I是?DEF的內心。)
22即弦EF與I相切．
117. 先證f?,當且僅當x?y?z?時等號成立。
73x(x?3y?1)xf???1?2?(*)
1?x?3y1?x?3yx(?x)21??由哥西不等式:?
1?x?3y?x(1?x?3y)?x(1?x?3y)7因為?x(1?x?3y)??x(2x?4y?z)?2??xy?，從而
3x3??1?x?3y731f?1?2??
771fmax?,71當且僅當x?y?z?時等號成立。
3再證f?0當x?1,y?z?0時等號成立。事實上，
x(2y?z)y(2z?x)z(2x?y)f(x,y,z)???1?x?3y1?y?3z1?z?3x2121?xy(?)?xz(?)
1?x?3y1?y?3z1?z?3x1?x?3y21?yz(?)1?y?3z1?z?3x 5
7xyz7xyz7xyz???0
(1?x?3y)(1?y?3z)(1?z?3x)(1?x?3y)(1?y?3z)(1?z?3x)故fmin?0，當x?1,y?z?0時等號成立。 【另證】
2xyxy2xyxy設z?min?x,y,z?，若z=0則f(x,y,0)?????01?x?3y1?y2x?4yx?2y下設x,y?z?0，由(*)式，要證f?0，只要證
x1??1?x?3y2(1)
1xy注意到?，於是(1)等價於 ?22x?4yx?2yzxxyy?(?)?(?)1?z?3x2x?4y1?x?3yx?2y1?y?3z
zx8y?(?)2x?4y1?x?3y1?y?3z即
2x?4yx8y??(2)
1?z?3x1?x?3y1?y?3z而由柯西不等式，可得
x8yx2(2y)2???1?x?3y1?y?3zx(1?x?3y)y(1?y?3z)2(x?2y)2? 2y?y?3yzx?x2?3xy?22x?4y?1?z?3x即(2)成立，從而f?0，故fmin?0，當x?1,y?z?0時等號成立。 ?8. 至少要如下圖挖去14個小方格．
如右圖，將8×8棋盤切為五個區域。
中央部份的區域至少要挖去2個小方格才能使T形的五方塊放不進去。二個打叉的位置是不等同的位置，一個是在
6
角落位置，另一個是內部位置，只挖去其中一個無法避免T置入。對於在邊界的四個全等的區域，每區域至少要挖去3個小方格才能使T形的五方塊放不進去． × ×
證明：以右上角的區域為例，下方T部份必需挖去1個小方格，上方部份必需挖去打叉的位置的1個小方格。
下方T部份挖去的1個小方格有五種情況，但無論如何均可再置入一片T形的五方塊， 因此至少要挖去3個小方格。 × × ×
× × × × 3 × × 3 2 × × 3 3
綜合所有區域，對於T型五方塊至少要挖去3×4+2=14個小方格。
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2009第6届中国东南数学奥林匹克试题及答案
