课题：与圆有关的轨迹方程

由天下分享时间：2025/3/20 20:58:05 加入收藏我要投稿点赞

课题：与圆有关的轨迹方程

北京市第八十中学王伟

一、教学时间：10.27 二、教学目标：

1、掌握求曲线的方程的一些常见方法；

2、建立数形结合思想，培养学生运用解析几何的基本思想方法； 3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力；三、教学重难点:

重点：求与圆有关的轨迹方程的方法；难点：建立动点坐标之间的等量关系；

四、教学用具：计算机、投影仪、圆规、三角板；五、教学过程：

（一）复习提问导入新课：

1什么叫曲线的方程、方程的曲线？ 2求曲线的方程的步骤是什么？学生回答

教师点评：明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程，2、通过方程研究平面曲线的性质。（二）新课：

今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程；

例1已知定点A（6，0），点B是圆x?y?9上的动点，点P为AB的中点，y求点P的轨迹方程。

解法一：作PQ∥OB交x轴于点Q，

BOPAx22∵P为AB中点，∴PQ为△OAB的中位线

13OB ∴|PQ|=，由圆的定义知，P在以Q（3，0）为2239圆心，半径r=|PQ|=的圆上，∴点P的轨迹方程是：(x?3)2?y2?；

24∴Q(3，0)，|PQ|=

1、解法一由学生探讨，寻求解答，展示思维过程；

2、教师点评，总结解法一：定义法；

用计算机演示动点P的轨迹图形，学生观察运动变化规律。教师提问：例1的解答还有其他方法吗？

学生观察分析：动点P的轨迹依赖圆上点B的变化；

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课题：与圆有关的轨迹方程

解法二：设P(x,y),B(x1,y1)，由中点坐标公式得：

x1?6?x???x1?2x?622222∴?∵B(x1,y1)在圆x?y?9上,∴x1?y1?9 ?y?0?y1?2y?y?12?∴(2x?6)?(2y)?9 ∴(x?3)?y?22229 4 教师总结解法二：坐标转移法，并把例1进行的拓展：

变化A点的位置探求点P的轨迹方程（1） A在圆上（2）A在圆内

变化P点位置探求点P的位置关系（1）P分AB的比为2：1 （2）P在AB的延长线上，使AB?BP

学生回答在上述四种情况中如何解答？

例2 自圆外一点A（6，0）引圆x?y?9的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程。

y22定义法解法一：∵OP⊥AP,取OA中点M则M(3，0)，|PM|=3，由圆的定义得P点轨迹方程为x?y?6x?0（在已知圆的内部分） 22CoPBAx几何法1 解法二：设P(x,y)，连OP，则OP⊥BC，当x?0时，yykOP?kBC,即???1，即x2?y2?4x?0，当x?0时P点坐标为（0，0）是

xx?4方程的解，∴BC中点P的轨迹方程为x?y?4x?0（在圆的内部分）

22OP=(x,y),PA=(6?x,?y),∵OP⊥PA，几何法2 解法三：设P(x,y)，连OP，

∴OP·PA=0,x(6?x)?y(?y)?0，x?y?6x?0（在圆的内部分）

22OP=(x,y),PA=(6?x,?y),∵OP⊥PA，几何法2 解法四：设P(x,y)，连OP，

∴OP·PA=0,x(6?x)?y(?y)?0，x?y?6x?0（在圆的内部分）坐标转移法解法五：设 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y)则

22x1?y12?4…..①

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2课题：与圆有关的轨迹方程

x2?y2?4……….②

22x?x1?x2y?y2，y?1… ③ 22①-②得:

(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)=0，当x1?x2时

y1?y2x?x2??1将③代入