《高等数学》教案
第一章：函数与极限（18课时）
第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。
1)A?{a1,a2,a3,??} 2)
A?{xx的性质P}
元素与集合的关系：a?A，a?A
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+
元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A?B。
如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A?B 若作A?B且A?B则称A是B的真子集。 全集I：Ai?I（I=1，2，3，……..）。 空集?：??A。 2、集合的运算
并集A?B：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B：A?B?{x|x?A且x?B} 差集A\\B：
A\\B?{x|x?A且x?B}
C补集（余集）A：I＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律：A?B?B?AA?B?B?A
结合律：(A?B)?C?A?(B?C)，(A?B)?C?A?(B?C)
分配律：(A?B)?C?(A?C)?(B?C)，(A?B)?C?(A?C)?(B?C)
ccccccA?B)?A?B(A?B)?A?B对偶律： (
笛卡儿积： A×B?{(x,y)|x?A且y?B} 3、区间和邻域
1）有限区间：开区间(a,b)，闭区间?a,b?，半开半闭区间?a,b??a,b?。
2）无限区间：（??,a），???,a?，?a,???，?a,???，???,???。 3）邻域：
U(a,?)?{xa???x?a??}
?注：a 邻域的中心，?邻域的半径；去心邻域记为U(a,?)。 二、映射 映射概念
定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作
f：X?Y
其中y称为元素x的像，并记作f(x)，即y?f(x)。 注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。
三、函数 1、函数的概念
定义 设数集D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，记为
y?f(x),x?D。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）。
3）函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(?x)关系决定)，图形特点 (关于原点、Y轴对称)。
4)函数的周期性(定义域中成立：f(x?l)?f(x))
3、 函数与复合函数
1）反函数：函数f:D?f(D)是单射，则有逆映射f函数的反函数。
函数与反函数的图像关y?x于对称。
2）复合函数：函数u?g(y)定义域为D1，函数y?f(x)在D上有定义、且f(D)?D1。则u?g(f(x))?g?f(x)为复合函数。
3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数
f（x）=??1(y)?x，称此映射f?1为f?f1(x)?f2(x)(x?a)(xa)
若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则 f（x）= f1[
11（x+a-(x?a)2）]+ f1[（x+a+(x?a)2）]- f1（a） 22a4、初等函数 1）幂函数：y?x
xy?a2)指数函数：
3)对数函数：y?loga(x) 4)三角函数：
y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cot(x)
5)反三角函数：
y?arcsin(x)，y?arccos(x)
y?arctan(x)y?arccot(x)
以上五种函数为基本初等函数。
shxex?e?xex?e?xex?e?xthx??xchx?shx?chxe?e?x 226）双曲函数：，，
注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式：
sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy
7）反双曲函数：
y?arshxy?archxy?arthx
例1 已知分段函数
?2x,?1?x?0,?f(x)??1,x?0,
?x2?2,0?x?1.?11）求其定义域并作图；2）求函数值f(?12),f(0),f(2).
例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2. 例3 求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x2,（0?x〈??）， y??作业：见课后各章节练习。
第二节：数列的极限
教学目的与要求：理解极限的概念，性质。 教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。 一、数列
数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。 一般写成：a1?2x?1,0?x?1,2?2?(x?2),1?x?2.
a2a3a4??an??
??缩写为un
?1?????例1 数列?n?是这样一个数列xn，其中
xn?1n，n?1,2,3,4,5???
也可写为：
11213141????5
lim1?0n??n可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。
1、 限的??N定义
???0?N?n?Nxn?a??，则称数列?xn?的极限为a，记成
limxn?an??
也可等价表述： 1）???02）???0?N?n?N?(xna)??
?N?n?Nxn?O(a?)。
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质
??定理1 如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一。
定理2 如果数列?xn?收敛，那么数列?xn?一定有界。 定理3 如果
limxn?ax??且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，
xn?0(xn?0)。
例2 证明数列?nn的极限是1。 ?1?例3 作出数列
?n?(?1)n?1n?图形，讨论其极限值。
作业：见课后各章节练习。
第三节：函数的极限
教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。 一、极限的定义 1、在x0点的极限 1）
x0可在函数的定义域内，xf(x0)也可不在，不涉及f在0有没有定义，以及函数值
的大小。只要满足：存在某个??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。 2）如果自变量x趋于则记为：x?x0x0时，
相应的函数值f(x)有一个总趋势——以某个实数A为极限，
limf(x)?A。
形式定义为：
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