选修2-2 第二章 2.1 2.1.2
一、选择题
1．“在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( )
A．省略了大前提 B．省略了小前提C．是完整的三段论 D．推理形式错误 [答案] A
[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”． 2．下面是一段演绎推理：
大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b∥平面α，直线a?平面α； 结论：所以直线b∥直线a. 在这个推理中( ) A．大前提正确，结论错误 C．大、小前提正确，只有结论错误 [答案] D
[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b∥平面α，直线a?平面α时，直线b与直线a可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.
3．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )
B．小前提与结论都是错误的 D．大前提错误，结论错误
A．BM是定值
C．存在某个位置，使DE⊥A1C [答案] C
[解析] 由线面位置关系易知A、B、D正确，C错误，如图，取CD的中点Q，连接MQ，BQ，∵M为A1C的中点，∴MQ
1A 21
B．点M在某个球面上运动
D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
D，∵E为AB中点，四边形ABCD为矩形，∴BQDE，∵矩形ABCD中，AB＝2AD，△A1DE≌△ADE，
∴MQ，BQ为定值∠MQB＝∠A1DE＝∠ADE为定值，
∴BM为定值，又B为定点，∴点M在以B点为球心，BM为半径的球面上运动，∴A、B选项正确；由于BQ∥DE，MQ∥A1D，∴平面BMQ∥平面A1DE，∴BM∥平面A1DE，故D正确；若DE⊥A1C，由于DE⊥EC，则DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥EA1矛盾，故选C.
4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 [答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 [答案] C
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．
6．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( )
A．三段论推理 B．假言推理 C．关系推理 D．完全归纳推理 [答案] A
[解析] ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)， 在△ABC中，AB＝AC，(小前提) ∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)， 符合三段论推理规则，故选A. 二、填空题
7．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________. [答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0. 8．以下推理过程省略的大前提为：________.
D．一次三段论
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. [答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
ex
9．设函数f(x)＝2，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
x＋ax＋a
[答案] 0 [解析] 因为f(x)的定义域为R， 所以x2＋ax＋a≠0恒成立． 所以Δ＝a2－4a<0.所以0 10．将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除． [答案] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形的对角线互相平分结论 (2)一切奇数都不能被2整除大前提 75是奇数小前提 75不能被2整除结论 一、选择题 1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f ′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中( ) A．大前提错误 B．小前提错误C．结论正确 [答案] A [解析] ∵对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f ′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．∴大前提错误，故选A. 2．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180° B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 D．推理形式错误 C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和 1?1?a＋－D．在数列{an}中，a1＝1，an＝n1a(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出2?n－1?{an}的通项公式 [答案] A [解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理． 二、填空题 3．“∵α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________. [答案] 如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 4．已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，则sin2α＋sin2β的取值范围为________. 5 [答案] [0，]∪{2} 4 [解析] 由2sin2α＋sin2β＝3sinα 得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα 39 ＝－(sinα－)2＋且sinα≥0，sin2α∈[0,1]． 24因为0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α， 所以0≤3sinα－2sin2α≤1. 1 解之得sinα＝1或0≤sinα≤， 2令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2. 15 当0≤sinα≤时，0≤y≤. 24 5 所以sin2α＋sin2β的取值范围是[0，]∪{2}． 4三、解答题 5．判断下列推理是否正确？为什么？ ①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数． [解析] ①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面． ②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例． 6．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1. (1)求证：|c|≤1. (2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2. [证明] (1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1. (2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)＝a＋b＝f(1)－c， g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c， 所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c， 又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1， 所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2. 当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2. 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c， g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2. 综上所述，－2≤g(x)≤2.
高二数学 人教A版选修2-2习题 第2章 推理与证明2.1.2 Word版含答案
