上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷
本试卷共四道大题，总分100分，其中A*表示矩阵A的共轭转置. 一、 单项选择题（每题3分，共15分）
?100???1. 设A??100?，则A200?A199?( )
?100???（A）E； （B）0； （C）A； （D）A2.
2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )
（A） 次数等于m(m?1)的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与
多项式的通常乘法；
（B） Hermite矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； （C） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算
k?x?x0，k是实数，x0是某一取定向量；
（D） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )
（A）保持向量的长度不变； （B）将标准正交基变为标准正交基；
（C）保持任意两个向量的夹角不变；（D）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.
4. 设A是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )
（A）A与对角矩阵相似； （B）A的特征值只可能是1或者0； （C）sin(A)?sin(1)A； （D）幂级数?Ak?(E?A)?1.
k?0?5. 设V1,V2是V的两个线性子空间，则与命题“V1?V2的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )
（A）V1?V2??0?； （B）dim(V1?V2)?dimV1?dimV2； （C）V1?V2的零元素的分解式唯一； （D）[V1?V2]?V. 二、填空题（每空3分，共15分）
设二维线性空间V的线性变换T1:V?V与T2:V?V在基?1,?2下的矩阵分别为
?10?A???21??,???10?B???20??.
??1、T1,T2的乘积T1T2:V?V在基?1,?2下的矩阵为 . 2、dimR(T1)? .
3、R(T1)?N(T2)的一个基为 . 4、若常数k使得k(A?B)为幂收敛矩阵，则k应该满足的条件是 .
5、??A0???BB??的Jordan标准型为 .
?三、计算题（12分）
向量空间R2?2中的内积通常定义为
22(A,B)???aijbij,(A?(aij)2?2,B?(bij)2?2.)
i?1j?1选取A?11?1????00???,A?01?2????11???，构造子空间W?[A1,A2]. 1、求W?的一组基；
2、利用已知的W和W?求R2?2的一个标准正交基. 四、计算题（18分） 已知
?A??200??03?1???.
?011??1、求矩阵A的Jordan标准型J和可逆矩阵P使得A相似于J； 2、计算矩阵eA； 3、求下列微分方程组的解
??dx???1???dt?Ax, x0??1?x(0)?x0,??. ?1??五、计算题（10分）
设A?Cm?n的秩为r，A的奇异值分解为A?UDV*，D??????OO?O???，
m?n??diag(s1，s2,?,sr).求矩阵B?(AA)的奇异值分解和它的Moore-Penrose广义逆.
六、计算题（18分）
设多项式空间P4[t]?{f(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3ai?R}中的线性变换为
Tf(t)?(a0?a1)?(a1?a2)t?(a2?a3)t2?(a3?a0)t3.
1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A； 2、求与A相关的四个子空间N(A),R(A),R(AT)和N(AT)； 3、求线性变换T的值域的基与维数； 4、求线性变换T的核的基与维数. 七、证明题（6分）
设A?Cn?n. 证明A是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B，使得
A?B2.
八、证明题（6分）
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(?)使得g(A)?0.
矩阵理论2010年试题-上海交通大学数学系
