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?1?1xdx112??(t?5)dt （4分） 5?4x831113 ?(5t?t3)|1? （5分）
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?6 ?2e2xcosxdx
0??112x解：?2ecosxdx?ecosx|02??2e2xsinxdx （2分）
02202x???1112x1 ???(esinx|02??2e2xcosxdx) （4分）
22220? ?20?2?e?ecosxdx? （5分）
52x?2ex?a四．设f(x)??2?x?bx?1x?0选择合适的a,b，使得f(x)处处可导。（本题6x?0得分 分） 解： 因为f(x)在x?0处连续，所以有
x2e?a)?lim(x?bx?1) lim(2?x?0x?0? 即 a??1 （3分） 又因为f(x)在x?0处可导，所以有
x?0xlim2e?lim(2x?b) ?x?0?即 b?2 （6分）
五. 设x?0，常数a?e，证明 (a?x)a?aa?x（本题6分） 解：设 f(x)?aln(x?a)?(a?x)lna （2分）
?f'(x)?a?lna?0 x?a得分 所以f(x)单调减少，而f(0)?0，当x?0时，f(x)?f(0) （5分）
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即 (a?x)a?aa?x （6分） 六 设函数f(x)?lnsecx,x?(?（本题6分）
解： f'(x)?tanx （2分） 在(???,)，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性 22得分 ?2,0),f'(x)?0，所以函数f(x)在(??2,0)单调减少 （3分）
在(0,),f'(x)?0，所以函数f(x)在(0,)单调增加 （4分）
22 f\(x)?sec2x?0，所以该函数的图形是凹的 （6分）
七 解微分方程
??dyy（本题6分） ?dxx?x2?y2得分 解 微分方程变形为
yxy1?1?()2x
dy?dx （1分）
令 u?
duuy
?，则u?x （2分） dx1?1?u2x
将上式分离变量两边积分得 ?1?1?u2u1?u2du???dx （4分） x 则 ln(1?u2?1)??ln|x|?c
即 y2?2c(x?c) （6分）
八 设曲线y?x2(x?0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴围成的面积为
1，试求 12（1）过切点A的切线方程
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（2）有上述所围成的平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积（本题10分）
解：（1）设A的坐标为(x0,y0)，那么过A的切线方程
2可表示为 y?2x0x?x0 （2分）
得分 切线与x轴的交点( S??x02022x0x0,0)，所以所围成的面积为 213x0 （5分） 122xdx??x0(x2?2x0x?x0)dx?2所以x0?1，即A(1,1) （6分） （2）平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积为 V???xdx???1(2x?1)dx?02141?30 （10分）
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高等数学上学期期末考试试卷及答案四份讲解学习
