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高等数学上学期期末考试试卷及答案四份讲解学习

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?1?1xdx112??(t?5)dt (4分) 5?4x831113 ?(5t?t3)|1? (5分)

836

?6 ?2e2xcosxdx

0??112x解:?2ecosxdx?ecosx|02??2e2xsinxdx (2分)

02202x???1112x1 ???(esinx|02??2e2xcosxdx) (4分)

22220? ?20?2?e?ecosxdx? (5分)

52x?2ex?a四.设f(x)??2?x?bx?1x?0选择合适的a,b,使得f(x)处处可导。(本题6x?0得分 分) 解: 因为f(x)在x?0处连续,所以有

x2e?a)?lim(x?bx?1) lim(2?x?0x?0? 即 a??1 (3分) 又因为f(x)在x?0处可导,所以有

x?0xlim2e?lim(2x?b) ?x?0?即 b?2 (6分)

五. 设x?0,常数a?e,证明 (a?x)a?aa?x(本题6分) 解:设 f(x)?aln(x?a)?(a?x)lna (2分)

?f'(x)?a?lna?0 x?a得分 所以f(x)单调减少,而f(0)?0,当x?0时,f(x)?f(0) (5分)

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即 (a?x)a?aa?x (6分) 六 设函数f(x)?lnsecx,x?(?(本题6分)

解: f'(x)?tanx (2分) 在(???,),讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性 22得分 ?2,0),f'(x)?0,所以函数f(x)在(??2,0)单调减少 (3分)

在(0,),f'(x)?0,所以函数f(x)在(0,)单调增加 (4分)

22 f\(x)?sec2x?0,所以该函数的图形是凹的 (6分)

七 解微分方程

??dyy(本题6分) ?dxx?x2?y2得分 解 微分方程变形为

yxy1?1?()2x

dy?dx (1分)

令 u?

duuy

?,则u?x (2分) dx1?1?u2x

将上式分离变量两边积分得 ?1?1?u2u1?u2du???dx (4分) x 则 ln(1?u2?1)??ln|x|?c

即 y2?2c(x?c) (6分)

八 设曲线y?x2(x?0)上某点A处作一切线,使之与曲线以及x轴围成的面积为

1,试求 12(1)过切点A的切线方程

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(2)有上述所围成的平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积(本题10分)

解:(1)设A的坐标为(x0,y0),那么过A的切线方程

2可表示为 y?2x0x?x0 (2分)

得分 切线与x轴的交点( S??x02024x0x0,0),所以所围成的面积为 213x0 (5分) 122xdx??x0(x2?2x0x?x0)dx?2所以x0?1,即A(1,1) (6分) (2)平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积为 V???xdx???1(2x?1)dx?02141?30 (10分)

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精品文档?1?1xdx112??(t?5)dt(4分)5?4x831113?(5t?t3)|1?(5分)836?6?2e2xcosxdx0??112x解:?2ecosxdx?ecosx|02??2e2xsinxdx(2分)
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