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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第
Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
?如果事件A，B互斥，那么
?圆锥的体积公式V?1Sh. 3P(AB)?P(A)?P(B) 其中S表示圆锥的底面面积，
?圆柱的体积公式V?Sh. h表示圆锥的高. 其中S表示棱柱的底面面积，
h表示棱柱的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i是虚数单位，复数 （A）1解：
7i34i（ ）
i （B）1i （C）73i34i4i34i2525i2517253117i （D）25725i 77i34i1i，选A.
?x?y?2?0,?（2）设变量x，y满足约束条件?x?y?2?0,则目标函数
?y?1,?（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 解：作出可行域，如图
z?x?2y的最小值为
y21O2x
-2
结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3，选B. （3）已知命题p：x（A）x0（C）x0，总有x1ex1，则p为（ ）
0，使得x00，使得x01ex01 （B）x01 （D）x1ex021ex01
1
0，总有x1exlog1，c20，总有x1ex解：依题意知p为：x0（4）设a0，使得x01，选B.
log2，b，则（ ）
（A）ab解：因为a1，b（ ）
c （B）bac （C）acb （D）cba 0，0c1，所以acb，选C.
（5）设an是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1（A）2 （B）-2 （C）解：依题意得S2211 （D）? 22S1S4，所以2a112a14a16，解得a11，选D. 22x10，双曲线的一
x2y21a0,b0的一条渐近线平行于直线l：y（6）已知双曲线2ab2个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
x2y2x2y21 （B）1 （A）
2055203x23y23x23y21 （D）1 （C）
2510010025b2a25，b220，选A. 解：依题意得c5，所以ac2a2b2（7）如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，
于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，列四个结论：①BD平分CBF；②FBFDFA；③AECEBEDE；④AFBDABBF. B则所有正确结论的序号是（ ）
（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ 解：由弦切角定理得FBDEACBAE，又BFDAFB， 所以
2A交BC给出下
EDA、C.
CBFD∽AFB，所以
BFAFBD，即AFBDABABBF，排除FR，在曲线y又FBDEAC（8）已知函数fxDBC，排除B，选D. 3sinxcosx0，x3fx与直线y1的交点
中，若相邻交点距离的最小值为
（A）
（B）
，则fx的最小正周期为（ ）
22 （C） （D）2 3x6，所以fx解：因为fx2sin1得sinx61， 2
所以x62k6或x62k235，k63，
Z.
因为相邻交点距离的最小值为
3，所以
2，T，选C.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3．本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） （9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 解：应从一年级抽取3003
244455660名.
2424（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______m. 解：该几何体的体积为
正视图侧视图开始S = 0, n = 3S = S+(2)nn = n141322220m3. 3（11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S的值为俯视图________.
解：n3时，S8；n2时，S4，所以输出的S的值为-4. （12）函数fxlgx2的单调递减区间值是________.
,0.
1，则否解：由复合函数的单调性知，fx的单调递减区间是（13）已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E,F分别在边的值为n ≤ 1？是输出 S结束BC,DC上，BC
解：因为BAD3BE，DCDF.若AEAF_______. 120，菱形的边长为2，所以ABAD2.
1ABADADAB，AEAF1， 因为AEAF311141，解得所以2. 332（
14
）
已
知
函
数若
fx函数yx25x2x4,x2,x0,0.yyfxax恰有4个零点，
则实数a的取值范围为__________.
4O2 1x41O2x
解：作出fx的图象，如图 当直线y
ax与函数yx25x4相切时，由0可得a1，所以a1.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级 男同学 C A B 女同学 Y Z X 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）. （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发表的概率.
（16）（本小题满分13分）
在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos?2A?c6b，sinB66sinC.
?????的值. 6?
（17）（本小题满分13分）
如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，BAE,F分别是棱AD，PC的中点.
（Ⅰ）证明 EF//平面PAB；
（Ⅱ）若二面角PADB为60，
（ⅰ）证明 平面PBC平面ABCD；
（ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
BD2，AD2，PAPD5，PFBDEAC
（18）（本小题满分13分）
x2y2设椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B.已知
ab3ABF1F2.
2（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF2（Ⅰ）解：依题意得a222，求椭圆的方程.
b23c，所以2a22c23c2，解得a2c，eyB2. 2（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知椭圆方程可化为x因为PF12y21.
2c2. 1，
因为B0,c，所以直线BF1的斜率kBF1直线PF1的方程为y设Px0,x0解得x0BF1，所以直线PF1的斜率kPF1xc.
2x0c2c，则有x024c或x032c2，
4cc,. 33PF1M0（舍），所以POF2Ax因为线段PB的中点为
2c2c,，所以圆的方程为33x2c32y2c325c2. 95c222，所以
9829c22，解得c9因为直线l与该圆相切，且MF23.
x2所以椭圆方程为
6y231.
（19）（本小题满分14分）
已知函数fxx223axa30，xR.
（Ⅰ）求fx的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的x1围.
（Ⅰ）解：因为fx令f2,，都存在x21,2x，使得fx1fx21.求a的取值范
x223ax，所以fx32ax22x1ax.
10或.
a1因为当x0或x时，fx单调递减，当0a1所以fx极小值f00，fx极大值fax0得xx1时，fx单调递增， a1. 3a2
（Ⅱ）解：因为fx1fx21，所以x122a3x1x2232a3x231.
（20）（本小题满分14分）
已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0,1,2,,q1，集合
Axxx1x2qxnqn1,xiM,i1,2,,n.
b2qbnqn1，其中ai,bii3时，用列举法表示集合A；
anqn1，tb1（Ⅱ）设s,tA，sa1a2q1,2,,n. 证明：若anbn，则st.
2，n（Ⅰ）当q2，nM，
（Ⅰ）解：当q3时，M0,1，AM，所以ai2xxx12x21,2,4x3,xiM,i1,2,3，
bn1.
A所以s
0,1,2,3,4,5,6,7.
1，所以ai,biq1，i（Ⅱ）证明：因为q,n1，anq11qq2qnbn1qn1
1qn1q11qbnqn11bnqnbn11qn1
t.
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