Caputo型分数阶微积分求解及其误差估计
李瑾
【摘 要】摘要： 研究Caputo 型分数阶微分函数的正解情况，考察其正解的唯一性问题，进而研究其数值求解的误差估计，所得结果拓展了Wyss的研究成果.
【期刊名称】华侨大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(000)006 【总页数】5
【关键词】 分数阶微积分; Caputo型； Chebyshev 多项式； 误差估计； 唯一性.
分数阶微积分在一些混沌领域，如在遗传数理得到了较为广泛的应用[1-3].然而，由于其应用上的非局部性，使得分数阶微积分数值计算较为复杂，进而导致发展较为缓慢[4].Diethelm[5]根据前人的研究成果[6-11]，给出了几种较为常见的分数阶微积分的数值算法，并提出了分数阶微积分的Gauss求解原理及算法.本文基于Sugiura等[12]的分数阶微积分Chebyshev 多项式数值算法模型，考察Wyss等[13]设计的Caputo 型分数阶微分函数的正解情况，进而研究其数值求解的误差估计.
1 分数阶积分及其拓展算法
Wyss和Chneider建构了分数阶积分函数，令φ(x)，ψ(x)为已知函数，所组成的偏微分方程为
为进一步研究高阶分数阶积分，Miyakoda拓展了Wyss的研究成果，建构基于Chebyshev多项式逼近的高阶分数阶积分[13].为此，令函数f(x)分数阶积分
为
结合文献[3]的研究，对上述方程进行多项式逼近，可得到 式(4)中：；δk=0.5.
令插值节点于是，可得到Chebyshev多项式为 T0(x)=1，T1(x)=x，Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x). 结合式(4)，由方程(1)可得 τ.
为了进一步得出该多项式的算法，记pn为式(4)的 n 次多项式，于是有 令(2x-1)，0≤t≤1，由式(6),有 (2x-1). 于是,可得到
由方程(9)中Ti(2x-1)(i=1，2，…，n)的系数，可以得到 所以，分数阶积分(1)的数值算法为 (-1))}.
式(11)中: α>a，t∈[0，1]，ak，bk由方程(4)及方程(10)给出.
2 Caputo型分数阶微分的数值算法
首先，给出Caputo型分数阶导数的定义.令函数f(t)的Caputo型分数阶导数为 +.
式(12)中:Γ(·)是Gamma函数.接下来，对该导数进行Chebyshev多项处理，可得
令为上式的n-2次多项式，则存有Ln-2多项式满足 (0)).
假设(2x-1)，0≤x≤1，在[x，t]区间内，对上式积分，得到 进而得到
再令(2x-1).根据文献[3]的研究，ak，ck，dk满足 为了进一步明确bi，将方程(16)～(18)整合,可得到 可以发现
式(18)中：k=1，2，…，n-2;bn-1=bn-2=0.于是,可得到Caputo型的分数阶导数的数值算法为
式(19)中：α∈(1，2)，t∈[0，1]，而dk，bk分别由方程(17)，(18) 确定.
3 Caputo型分数阶微分方程解的唯一性问题
上面给出了Caputo型分数阶微分的定义，并给出了其数值算法.接下来，利用混合单调算子不动点定理，考察Caputo型分数阶微分方程解的唯一性问题. 当t∈(0，+∞)，(0，∞)→R时，f(x)的a阶(a∈R+)分数阶积分为 τ.
所以，其Caputo型分数阶导数则为 τ.
假设G(t，s)>0(t，s∈(0，1)为Green函数，于是，在g∈[0，1]，2≤a≤3，Caputo型分数阶导数微分方程为 存在唯一解有
上式中：G(t，s)满足?t，s∈(0，1).此时的积分空间C为Banach空间，即
Caputo 型分数阶微积分求解及其误差估计
