2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷II，含
答案）
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AgB)?P(A)gP(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?4?R3 3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,…n)
一．选择题
?3?i?（1）复数???
?1?i?（A）?3?4i （B）?3?4i （C）3?4i （D）3?4i （2）函数y?（A）y?e（C）y?e2x?121?ln(x?1)(x?1)的反函数是
2?1(x?0) （B）y?e2x?1?1(x?0) ?1(x?R) （D）y?e2x?1?1(x?R)
2x?1?x≥?1,?（3）若变量x,y满足约束条件?y≥x,则z?2x?y的最大值为
?3x?2y≤5，?（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7? （A）14 （B）21 （C）28 （D）35
x2?x?6＞0的解集为 （5）不等式
x?1（A）xx＜?2,或x＞3 （B）xx＜?2，或1＜x＜3 （C）x?2＜x＜，或1x＞3 （D）x?2＜x＜，或11＜x＜3
（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种 （7）为了得到函数y?sin(2x?????????)的图像，只需把函数y?sin(2x?)的图像 36??（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
44??（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
22uuruur（8）VABC中，点D在AB上，CD平方?ACB．若CB?a，CA?b，a?1，b?2，
uuur则CD?
（A）a???132213443b （B）a?b （C）a?b （D）a?b 3335555（9）已知正四棱锥S?ABCD中，SA?23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A）1 （B）
?123 （C）2 （D）3
1???（10）若曲线y?x在点?a,a2?处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a?
??（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
（11）与正方体ABCD?A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 （A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
x2y23（12）已知椭圆C:2?2?1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的
2abuuuruuur直线与C相交于A、B两点．若AF?3FB，则k?
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2．本卷共10小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a是第二象限的角，tan(??2a)??4，则tana? ． 3（14）若(x?)的展开式中x的系数是?84，则a? ．
2（15）已知抛物线C:y?2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交
ax93于点A，与C的一个交点为B．若AM?MB，则p? ．
（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB?4．若OM?ON?3，则两圆圆心的距离MN? ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）
uuuuruuur?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?（18）（本小题满分12分）
23n． 已知数列?an?的前n项和Sn?(n?n)g53，cos?ADC?，求AD． 135（Ⅰ）求liman；
n??Sn（Ⅱ）证明：
ana1a2??…?＞3n． 22212n（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点，E为
AB1上的一点，AE?3EB1．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角
A1?AC1?B1的大小．
（20）（本小题满分12分）
如图，由M到N的电路中有4个组件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各组件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；
（Ⅲ）?表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的组件个数，求?的期望．
（21）（本小题满分12分）
x2y2 己知斜率为1的直线l与双曲线C：2?2?1?a＞0，b＞0?相交于B、D两点，且
abBD的中点为M?1,3?．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DFgBF?17，证明：过A、B、D三点的圆与
x轴相切．
（22）（本小题满分12分） 设函数f?x??1?e．
?x（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f?x??（Ⅱ）设当x?0时，f?x??x； x?1x，求a的取值范围． ax?1参考答案
18）解：
（Ⅰ）limanS?Sn?1?lim(1?Sn?1Sn??S?limnnn??Snn??S)1?limn?1，nn??SnlimSn?1n?11n??S?lim??1，
nn??n?133所以limann??S?2.
n3（Ⅱ）当n?1时，
a112?S1?6?3； 当n?1时，a112?a2a22?L?nn2 ?a1S2Sn?Sn?11??S1222?L?n2
（
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷II,含答案)
