一、选择题
1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（） A．c＜－3 B．c＜－2 C．c?【答案】B
【解析】 当y=x时，x=x2+2x+c，即为x2+x+c=0，由题意可知：x1，x2是该方程的两个实数根，所以?∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0， 即x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0， ∴c－(－1)＋1＜0， ∴c＜－2.
又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c＞0， 解得：c＜
1D．c＜1 4?x1?x2??1
?x1?x2?c1 4.
∴c的取值范围为c＜－2 .
2.（2019·济宁）已知有理数a≠1，我们把11称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝?1，－1的差1?a1?2倒数是11?．如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此1?(?1)2类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是（） A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5 【答案】A
【解析】由题意知：a2＝1113111＝；a3＝＝，a4＝＝－2；a5＝＝；…；可知1231?(?2)31?(?2)31?1?32经过3次开始循环，所以a1＋a2＋…＋a100＝－2＋二、填空题
13131＋－2＋＋＋…－2＝??33?2＝－7.5． 32326kx0?b?y01?k218．（2019·娄底） 已知点P?x0,y0?到直线y?kx?b的距离可表示为d?，例如：点（0，
1）到直线y＝2x+6的距离d?间的距离为___________． 【答案】22．
2?0?6?11?22?5．据此进一步可得两平行直线y?x与y?x?4之
【解析】在直线y?x上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线
y?x?4的距离就是两平行直线y?x与y?x?4之间的距离．d?0?4?01?12?4?22． 216．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根
据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二
1次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ是
4广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①④
【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然
满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中
12110)PQ＝m2的四边形PMNQ满足MN∥PQ，设P(m，（m＞0），∵PM＝m2?(m2?1)2＝m＋1，
44412－(－1)＝m＋1，∴PM＝PQ，故四边形PMNQ是广义菱形．综上所述正确的是①④．
417．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征
值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ． 【答案】
81或． 54808201?；当∠A是底角时，则底角是20°，k=?，505804【解析】当∠A是顶角时，底角是50°，则k=
故答案为：
三、解答题
81或． 541.（2019·重庆A卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在
数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯
数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23
＋24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．
解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．
（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2
时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：
①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．
2.（2019·重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然
数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.
定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n??n?1???n?2?的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.
例如：32是“纯数”，因为32?33?34在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为23?24?25在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由. 解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100
若n为一位数，则有n+（n+1）+（n+2）＜10，解得：n＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．
两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.
3.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满
是x=
b?da?c，y=，那么称点T是点A，B的融合点。
33?1?48?(?2)=1，y==2时.则点T（1，2）是33例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x=
点A，B的融合点。
（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点. （2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.
y1lx1O①试确定y与x的关系式.
D
②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
解：（1）∵
?1?75?7=2，=4， 33∴点C（2，4）是点A.B的融合点。..…3分 （2）①由融合点定义知x=
3?t，得t=3x-3....4分 3又∵y=
0?(2t?3)3y?3，得t=...….5分 323y?3，化简得y=2x-1.……6分 2∴3x-3=
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.
yET1x1l由点T是点D，E的融合点，可得m=
OHD
m?3(2m?3)?0或2m-1= 3333，∴点E1（，6）.…7分 22解得m=
EyTxl（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分
OHD
（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分 （注：此类情况不写不扣分） 综上所述，符合题意的点为E1（
3，6），E2（6，15）. ……10分 24.(2019·宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.
(1)如图1,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;
(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;
(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE＝2BE,求邻余线AB的长.
解：(1)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠DBA＝90°, ∴∠FAB与∠EBA互余.∴四边形ABEF是邻余四边形; (2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)
(3)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD＝CD,∵DE＝2BE,∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝5BE.∵∠EDF＝90°,M为EF的中点,∴DM＝ME.∴∠MDE＝∠MED.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴
QBBD3??,∵QB＝3,∴NC＝5,∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10. NCCE5
5.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数． （2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
2019年全国中考数学真题分类汇编(新定义型)
