2019-2020 年中考数学复习用资料
二次
函数综合题精选
1、如图 1,抛物线 y
1 x2 1 x 3与 x 轴交于 A、
4
4
C两点,与 y 轴交于 B 点,与直线 y kx b 交于 A、D
两点。⑴直接写出 A、 C两点坐标和直线 AD的解析式;
⑵如图 2,质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次
标有数字- 1、 1、 3、 4. 随机抛掷这枚骰子两次,把第
一次着地一面的数字
m记做 P 点的横坐标,第二次着地 一面的数字 n 记做 P 点的纵坐标 . 则点 P m, n 落在图 1 中抛物线与直线围成区域内(图中阴影部分,含边界) 的概率是多少?
y
B
-1 3
A
C
图 2
0
x D(5,-
图
解:⑴
A 点坐标: ( - 3, 0) , C点坐标: C(4,0) ;
直线 AD解析式: y 1 x 3 4
.
4⑵ 所有可能出现的结果如下(用列树状图列举所有
可能同样得分) :
第 一
- 1
1
3
4
次 第 二
次
- 1
(- 1,- 1)(- 1, 1)(- 1, 3)(- 1, 4)
1 (1,- 1) (1,1) ( 1,3) (1,4) 3 (3,- 1) (3,1) ( 3,3) (3, 4 )
4 (4,- 1) (4,1) ( 4,3) (4, 4 )总共有 16 种结果,每种结果出现的可能性相同,而
落在图 1 中抛物线与直线围成区域内的结果有
7 种:
(- 1,1),( 1,- 1),( 1,1),( 1, 3),( 3,- 1),
( 3, 1),(4,- 1).
因此 P(落在抛物线与直线围成区域内) = 7
.
16
2、今年我国多个省市遭受严重干旱 . 受旱灾的影响,
4 月份,我市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周 每周的平均销售价格变化如下表:
周数 x 1
2
3
4
价格 y
(元 / 千 2 2.2 2.4 2.6 克)
进入 5 月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平 均销售价格 y(元 / 千克)从 5 月第 1 周的 2.8 元
/ 千克下降至第 2 周的 2.4 元 / 千克,且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数
y
1 x2 bx c .
20
( 1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反 比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y
与 x 所满足的函数关系式,并求出 5 月份 y 与 x 所
满足的二次函数关系式;
( 2)若 4 月份此种蔬菜的进价
m (元 / 千克)与周数
x 所满足的函数关系为 m1
4x 1.2 , 5 月份的进
价
m (元 / 千克)与周数 x 所满足的函数关系为
m
1
.试问 4 月份与 5 月份分别在哪一周
5
x 2 销售此种蔬菜一千克的利润最大?且最大利润分别 是多少?
( 3)若 5 月的第 2 周共销售 100 吨此种蔬菜 . 从 5 月的第
3 周起,由于受暴雨的影响,此种蔬菜的可供 销量将在第 2 周销量的基础上每周减少 a% ,政府为稳定蔬菜价格,从外地调运
2 吨此种蔬菜,刚好满足 本地市民的需要, 且使此种蔬菜的价格仅上涨 0.8a% . 若在这一举措下,此种蔬菜在第 3 周的总销售额与第
2 周刚好持平, 请你参考以下数据, 通过计算估算出 a
的整数值 .
解:( 1) 4 月份 y 与 x 满足的函数关系式为
y 0.2 x 1.8 .
把 x 1 , y
2.8 和 x 2
, y
2.4分别代入y
1 x2 bx c ,得
20
1
20b c 2.8,
0.25,
解得
b
1
4 2b c 2.4.
c
3.1.
20
∴5 月 份 y 与 x
满足的函数关系式为 y
0. 0 5x2
0. 2x 5 .3. 1
(2)设 4 月份第 x 周销售一千克此种蔬菜的利润
为 W1 元,5 月份第 x 周销售此种蔬菜一千克的利润为 W2 元.
W11 (0.2x 1.8) ( x 1.2)
0.05 x 0.6 .
4
∵ 0.05
0,∴ W1 随 x 的增大而减小.
∴当 x 1时, W1最大
0.05
0.6 0.55 . W2
( 0.05x
2
0.25x 3.1)( 1
x 2)
5
0.05x2
0.05x 1.1 .
∵对称轴为 x
0.05 20.5 ,且
0.05 0 ,
( 0.05)
∴当 x 0.5 时, y 随 x 的增大而减小. ∴当 x
1 时,
.
W2最大 1
所以
4 月份销售此种蔬菜一千克的利润在第 1 周最大,
最大利润为 0.55 元;5 月份销售此种蔬菜一千克的利润
在第 1 周最大,最大利润为
1 元.
(
3
)
由
题
意
知
:
100(1a%) 2 2.4(10.8a%)
2.4 100 .
整 理 , 得a2
23a 250 0 .
解 得
a23
1529
.
2
∵ 392
1521, 402 1600 ,而 1529 更接近 1521,∴取
1529 39 .
∴ a 31(舍去)或 a ≈8 .答:
a
的整数值为 8. 3
、如图, Rt△ ABO的两直角边 OA、 OB分别在 x 轴的负
半轴和 y 轴的正半轴上, O为坐标原点, A、 B 两点的坐标分别为( 3,0)、(0,4),抛物线
y
2 x2 bx c 经过 B 点,且顶点在直线 x5
上.
3
2
( 1)求抛物线对应的函数关系式;
( 2)若△ DCE是由△ ABO沿 x 轴向右平移得到的,
当四边形 ABCD是菱形时,试判断点 C 和点 D 是
否在该抛物线上,并说明理由;
( 3)若 M点是 CD所在直线下方该抛物线上的一个动
点,过点 M作 MN平行于 y 轴交 CD于点 N.设点 M 的横坐标为 t ,MN的长度为 l .求 l 与 t 之间的函数
关系式,并求 l 取最大值时,点 M的坐标.
解:( 1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关
2
5 5 系式为 y( x
)2
m
∴ 42
() m2
3 2
3
2
∴ m
1
6
∴
所
y2求 函 数关 系 式
为
:
( x
5)2
1 2 x2 10 x 4
3 2 6 3 3
( 2)在 Rt △ ABO中, OA=3, OB=4,
∴ AB
OA2 OB2
5
∵四边形 ABCD是菱形
∴
BC=CD=DA=AB=5 ∴ C、D两点的坐标分别是( 5, 4)、( 2, 0).
当 x
5 时, y 2 52 10 5 4 4
3 3 当 x2 时, y
210
22
240
3
3
∴点 C和点 D在所求抛物线上.
(3)设直线
CD对应的函数关系式为
y kx b ,则 5kby
4 解得:
2k b
0
B
C
k4
8
. ∴
3,b
N
y
4
x 8
3
M
A
O D E
33
x
∵ MN∥ y 轴, M
点的横坐标为
t , ∴ N点的横坐标也为 t .
则 y10
M
2 t2 t 4 ,
yN
4 t 8 , 3
3
3 3
∴
l y2
N
yM 4 t
8 2 t2 10t 4
2 t2 14t 20
(t 7)2 3
3 3 3 3
3 3 3
3 2 2∵
2 0, ∴当
y
3
t
7 2时
,
l
B
C
最大
3 , N
2
此时点7 M 的坐标
M
为(
, 1 ) A
O
D
E
x
2 2
4 、 如图,二次函数
y
1 x 2 c 的图象经过点
2
D
3, 9
,与 x 轴交于 A、B 两点.
2
⑴求 c 的值;
⑵如图①, 设点 C为该二次函数的图象在
x 轴上方
的一点,直线 AC将四边形 ABCD的面积二等分,试证明线段 BD被直线 AC平分,并求此时直线 AC的函数解析式;
⑶设点 P、Q为该二次函数的图象在 x 轴上方的两
个动点,试猜想:是否存在这样的点 P、Q,使△ AQP≌
△ ABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)
解⑴ ∵抛物线经过点 D(
3, 9 )2
∴
1
3)
2
c 9
∴ c=6.
2(
2
⑵过点 D、B 点分别作 AC的垂线,垂足分别为 E、F,
设 AC与 BD交点为 M,
∵ AC 将四边形 ABCD的面积二等分,即: S△ ABC=S△ ADC
∴ DE=BF
又∵∠ DME=∠ BMF, ∠ DEM=∠ BFE
∴△ DEM≌△ BFM
∴ DM=BM 即 AC平分 BD ∵ c=6.
∵抛物线为 y
1 x 2 6
2
∴ A( 2 3,0 )、B( 2 3,0 )
∵ 是
的中点
∴ (
3 9 )
M
BD
M
,
2 4
设 AC的解析式为 y=kx+b,经过 A、 M点
3 3
2 3k b 0
k
3
10
2kb9 解得
4
9
b
5
直线 AC的解析式为 y
3 3 x 9 .
10
5
⑶存在. 设抛物线顶点为
(0 ,6) ,在 Rt△ 中,
N
AQN
易得 AN= 4 3 ,于是以 A 点为圆心, AB= 4 3 为半径作圆
与抛物线在 x 上方一定有交点 Q,连接 AQ,再作∠ QAB 平分线 AP 交抛物线于 P,连接 BP、 PQ,此时由“边角
边”易得△ AQP≌△ ABP.
5、如图,在梯形
ABCD中, AD∥BC,∠ B=90°, BC
=6, AD=3,∠ DCB=30° . 点 E、F 同时从 B 点出
发,沿射线 BC向右匀速移动 . 已知 F 点移动速度
是 E 点移动速度的 2 倍,以 EF为一边在 CB的上方
作等边△ EFG.设 E 点移动距离为 x(x> 0) .
⑴△ EFG的边长是 ____(用含有 x 的代数式表示) ,
当 x=2 时,点 G的位置在 _______;
⑵若△ EFG与梯形 ABCD重叠部分面积是 y,求
①当 0< x≤2 时,y 与 x 之间的函数关系式;
②当 2< x≤6 时, y 与 x 之间的函数关系式;
⑶探求⑵中得到的函数
y 在 x 取含何值时,存在
最大值,并求出最大值
.
A
D
G
BE→F→
C
解:⑴ x , D 点;
在梯形 ABCD内⑵ ①当0<
时,△
部,
x≤2
EFG
所以 y= 3 2
x;
4
②分两种情况:
Ⅰ . 当 2< x< 3 时,如图 1,点 E、点 F 在线段 BC
上,△ EFG
与梯形
ABCD重
叠部分为
四边形
EFNM,
∵∠ FNC=∠ FCN= 30° , ∴ FN= FC= 6- 2x. ∴ GN
= 3x- 6.
由于在 Rt △ NMG中,∠ G= 60°,
所以,此时3
y= 3 x 2-
(3x- 6) 2=
4 8
7 3 x2
9 3 x 9 3 . 8
2 2
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