2019-2020 年中考数学复习用资料
二次
函数综合题精选
1、如图 1，抛物线 y
1 x2 1 x 3与 x 轴交于 A、
4
4
C两点，与 y 轴交于 B 点，与直线 y kx b 交于 A、D
两点。⑴直接写出 A、 C两点坐标和直线 AD的解析式；
⑵如图 2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次
标有数字－ 1、 1、 3、 4. 随机抛掷这枚骰子两次，把第
一次着地一面的数字
m记做 P 点的横坐标，第二次着地 一面的数字 n 记做 P 点的纵坐标 . 则点 P m, n 落在图 1 中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界） 的概率是多少？
y
B
-1 3
A
C
图 2
0
x D(5,-
图
解：⑴
A 点坐标： ( － 3， 0) ， C点坐标： C(4，0) ；
直线 AD解析式： y 1 x 3 4
.
4⑵ 所有可能出现的结果如下（用列树状图列举所有
可能同样得分） ：
第 一
－ 1
1
3
4
次 第 二
次
－ 1
（－ 1，－ 1）（－ 1， 1）（－ 1， 3）（－ 1， 4）
1 （1，－ 1） （1，1） （ 1，3） （1，4） 3 （3，－ 1） （3，1） （ 3，3） （3， 4 ）
4 （4，－ 1） （4，1） （ 4，3） （4， 4 ）总共有 16 种结果，每种结果出现的可能性相同，而
落在图 1 中抛物线与直线围成区域内的结果有
7 种：
（－ 1，1），（ 1，－ 1），（ 1，1），（ 1， 3），（ 3，－ 1），
（ 3， 1），（4，－ 1）.
因此 P（落在抛物线与直线围成区域内） ＝ 7
.
16
2、今年我国多个省市遭受严重干旱 . 受旱灾的影响，
4 月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周 每周的平均销售价格变化如下表：
周数 x 1
2
3
4
价格 y
（元 / 千 2 2.2 2.4 2.6 克）
进入 5 月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平 均销售价格 y（元 / 千克）从 5 月第 1 周的 2.8 元
/ 千克下降至第 2 周的 2.4 元 / 千克，且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数
y
1 x2 bx c .
20
（ 1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反 比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y
与 x 所满足的函数关系式，并求出 5 月份 y 与 x 所
满足的二次函数关系式；
（ 2）若 4 月份此种蔬菜的进价
m （元 / 千克）与周数
x 所满足的函数关系为 m1
4x 1.2 ， 5 月份的进
价
m （元 / 千克）与周数 x 所满足的函数关系为
m
1
．试问 4 月份与 5 月份分别在哪一周
5
x 2 销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别 是多少？
（ 3）若 5 月的第 2 周共销售 100 吨此种蔬菜 . 从 5 月的第
3 周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供 销量将在第 2 周销量的基础上每周减少 a% ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运
2 吨此种蔬菜，刚好满足 本地市民的需要， 且使此种蔬菜的价格仅上涨 0.8a% . 若在这一举措下，此种蔬菜在第 3 周的总销售额与第
2 周刚好持平， 请你参考以下数据， 通过计算估算出 a
的整数值 .
解：（ 1） 4 月份 y 与 x 满足的函数关系式为
y 0.2 x 1.8 ．
把 x 1 ， y
2.8 和 x 2
， y
2.4分别代入y
1 x2 bx c ，得
20
1
20b c 2.8,
0.25,
解得
b
1
4 2b c 2.4.
c
3.1.
20
∴5 月 份 y 与 x
满足的函数关系式为 y
0. 0 5x2
0. 2x 5 ．3. 1
（2）设 4 月份第 x 周销售一千克此种蔬菜的利润
为 W1 元，5 月份第 x 周销售此种蔬菜一千克的利润为 W2 元．
W11 (0.2x 1.8) ( x 1.2)
0.05 x 0.6 ．
4
∵ 0.05
0，∴ W1 随 x 的增大而减小．
∴当 x 1时， W1最大
0.05
0.6 0.55 ． W2
( 0.05x
2
0.25x 3.1)( 1
x 2)
5
0.05x2
0.05x 1.1 ．
∵对称轴为 x
0.05 20.5 ，且
0.05 0 ，
( 0.05)
∴当 x 0.5 时， y 随 x 的增大而减小． ∴当 x
1 时，
．
W2最大 1
所以
4 月份销售此种蔬菜一千克的利润在第 1 周最大，
最大利润为 0.55 元；5 月份销售此种蔬菜一千克的利润
在第 1 周最大，最大利润为
1 元．
（
3
）
由
题
意
知
：
100(1a%) 2 2.4(10.8a%)
2.4 100 ．
整 理 ， 得a2
23a 250 0 ．
解 得
a23
1529
．
2
∵ 392
1521， 402 1600 ，而 1529 更接近 1521，∴取
1529 39 ．
∴ a 31（舍去）或 a ≈8 ．答：
a
的整数值为 8． 3
、如图， Rt△ ABO的两直角边 OA、 OB分别在 x 轴的负
半轴和 y 轴的正半轴上， O为坐标原点， A、 B 两点的坐标分别为（ 3，0）、（0，4），抛物线
y
2 x2 bx c 经过 B 点，且顶点在直线 x5
上．
3
2
（ 1）求抛物线对应的函数关系式；
（ 2）若△ DCE是由△ ABO沿 x 轴向右平移得到的，
当四边形 ABCD是菱形时，试判断点 C 和点 D 是
否在该抛物线上，并说明理由；
（ 3）若 M点是 CD所在直线下方该抛物线上的一个动
点，过点 M作 MN平行于 y 轴交 CD于点 N．设点 M 的横坐标为 t ，MN的长度为 l ．求 l 与 t 之间的函数
关系式，并求 l 取最大值时，点 M的坐标．
解：（ 1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关
2
5 5 系式为 y( x
)2
m
∴ 42
() m2
3 2
3
2
∴ m
1
6
∴
所
y2求 函 数关 系 式
为
：
( x
5)2
1 2 x2 10 x 4
3 2 6 3 3
（ 2）在 Rt △ ABO中， OA=3， OB=4，
∴ AB
OA2 OB2
5
∵四边形 ABCD是菱形
∴
BC=CD=DA=AB=5 ∴ C、D两点的坐标分别是（ 5， 4）、（ 2， 0）．
当 x
5 时， y 2 52 10 5 4 4
3 3 当 x2 时， y
210
22
240
3
3
∴点 C和点 D在所求抛物线上．
（3）设直线
CD对应的函数关系式为
y kx b ，则 5kby
4 解得：
2k b
0
B
C
k4
8
． ∴
3,b
N
y
4
x 8
3
M
A
O D E
33
x
∵ MN∥ y 轴， M
点的横坐标为
t ， ∴ N点的横坐标也为 t ．
则 y10
M
2 t2 t 4 ，
yN
4 t 8 ， 3
3
3 3
∴
l y2
N
yM 4 t
8 2 t2 10t 4
2 t2 14t 20
(t 7)2 3
3 3 3 3
3 3 3
3 2 2∵
2 0， ∴当
y
3
t
7 2时
，
l
B
C
最大
3 ， N
2
此时点7 M 的坐标
M
为（
， 1 ） A
O
D
E
x
2 2
4 、 如图，二次函数
y
1 x 2 c 的图象经过点
2
D
3, 9
，与 x 轴交于 A、B 两点．
2
⑴求 c 的值；
⑵如图①， 设点 C为该二次函数的图象在
x 轴上方
的一点，直线 AC将四边形 ABCD的面积二等分，试证明线段 BD被直线 AC平分，并求此时直线 AC的函数解析式；
⑶设点 P、Q为该二次函数的图象在 x 轴上方的两
个动点，试猜想：是否存在这样的点 P、Q，使△ AQP≌
△ ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
解⑴ ∵抛物线经过点 D(
3, 9 )2
∴
1
3)
2
c 9
∴ c=6.
2(
2
⑵过点 D、B 点分别作 AC的垂线，垂足分别为 E、F，
设 AC与 BD交点为 M，
∵ AC 将四边形 ABCD的面积二等分，即： S△ ABC=S△ ADC
∴ DE=BF
又∵∠ DME=∠ BMF， ∠ DEM=∠ BFE
∴△ DEM≌△ BFM
∴ DM=BM 即 AC平分 BD ∵ c=6.
∵抛物线为 y
1 x 2 6
2
∴ A（ 2 3,0 ）、B（ 2 3,0 ）
∵ 是
的中点
∴ （
3 9 ）
M
BD
M
,
2 4
设 AC的解析式为 y=kx+b，经过 A、 M点
3 3
2 3k b 0
k
3
10
2kb9 解得
4
9
b
5
直线 AC的解析式为 y
3 3 x 9 .
10
5
⑶存在． 设抛物线顶点为
(0 ，6) ，在 Rt△ 中，
N
AQN
易得 AN= 4 3 ，于是以 A 点为圆心， AB= 4 3 为半径作圆
与抛物线在 x 上方一定有交点 Q，连接 AQ，再作∠ QAB 平分线 AP 交抛物线于 P，连接 BP、 PQ，此时由“边角
边”易得△ AQP≌△ ABP．
5、如图，在梯形
ABCD中， AD∥BC，∠ B＝90°， BC
＝6， AD＝3，∠ DCB＝30° . 点 E、F 同时从 B 点出
发，沿射线 BC向右匀速移动 . 已知 F 点移动速度
是 E 点移动速度的 2 倍，以 EF为一边在 CB的上方
作等边△ EFG．设 E 点移动距离为 x（x＞ 0） .
⑴△ EFG的边长是 ____（用含有 x 的代数式表示） ，
当 x＝2 时，点 G的位置在 _______；
⑵若△ EFG与梯形 ABCD重叠部分面积是 y，求
①当 0＜ x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式；
②当 2＜ x≤6 时， y 与 x 之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数
y 在 x 取含何值时，存在
最大值，并求出最大值
.
A
D
G
BE→F→
C
解：⑴ x ， D 点；
在梯形 ABCD内⑵ ①当0＜
时，△
部，
x≤2
EFG
所以 y＝ 3 2
x；
4
②分两种情况：
Ⅰ . 当 2＜ x＜ 3 时，如图 1，点 E、点 F 在线段 BC
上，△ EFG
与梯形
ABCD重
叠部分为
四边形
EFNM，
∵∠ FNC＝∠ FCN＝ 30° , ∴ FN＝ FC＝ 6－ 2x. ∴ GN
＝ 3x－ 6.
由于在 Rt △ NMG中，∠ G＝ 60°，
所以，此时3
y＝ 3 x 2－
（3x－ 6） 2＝
4 8
7 3 x2
9 3 x 9 3 . 8
2 2
2019-2020年中考数学复习用资料二次函数综合题精选.docx
