第四章 利率
4.1、一家银行的利率报价为每年14%，每季度复利一次。在
以下不同的复利机制下对应的等值利率是多少？ （a）连续复利 （b）每年复利 解答：（a）对应的连续复利为
0.14??4ln?1???0.13764??或每年13.76%。 （b）对应的每年复利为
?0.14?1??1?0.1475?? 4??或每年14.75%
44.3、6个月期与1年期的零息利率均为10%。一个剩余期为
18个月，息票利率为每年8%（半年付息一次，且刚刚付 过一次利息），收益率为10.4%的债券价格是多少?18 个 月的零息利率是多少？这里的所有利率均为每半年复利 一次。
解答：假定债券的面值为100美元。通过将债券的现金流以10.4%贴现得到债券价格为
44??2 1.051.05?1?R/2?1043?96.74
如果18个月的零息利率为R，有
44104???96.74 23 1.051.05?1?R/2?通过上式解得R=10.42%
4.5、假设连续复利的零息利率如表4-1所示：
表4-1
期限（以月计） 利率（每年的利率，%） 3 8.0 6 8.2 9 8.4 12 8.5 15 8.6 18 8.7
计算第2季度、第3季度、第4季度、第5季度和第6季度的远期利率。
解答：连续复利的远期利率如下所示。
第2季度：8.4%；第3季度：8.8%; 第4季度：8.8%；第5季度：9.0%；第6季度：9.2%。
4.11、假定6个月期、12个月期、18个月期、24
个月期
和30个月期的零息利率分别为每年4%、4.2%、4.4%、 4.6%和4.8%，利率以连续复利计算。估计一张面值为 100美元的债券价格，该债券将在30个月后到期，债 券的票面利率为每年4%，每半年付息一次。 解答:债券在6个月后、12个月后、18个月后和24个月后分别支付2美元的利息，在30个月后支付102美元的本金和利息。债券的价格为
2e?0.04*0.5?2e?0.042*1.0?2e0.044*1.5?2e?0.046*2.0?102e?0.048*2.5?98.04(美元)4.12、一张3年期债券的票面利率为8%，每半年付息一次，
债券的价格为104美元。债券的收益率为多少? 解答：债券在6个月后、12个月后、18个月后、24个月后及及30个月后分别支付4美元的利息，在36个月后支付104美元的本金和利息。债券的收益率y满足如下方程
4e?0.5y?4e?1.0y?4e?1.5y?4e?2.0y?
4e?2.5y?104e?3.0y?104(美元)
求解得：y=o.o6407或6.407%
4.22、一张年收益率为11%（连续复利计算）的5年期的债
券在每年年底支付8%的票面利息，（a）此债券的价 格为多少?(b)债券的久期是多少？（c）运用久期公式 说明幅度为0.2%的收益率下降对债券价格的影响。 （d）重新计算年收益率为10.8%时债券的价格，并验 证计算结果同（c）答案的一致性。 解答：
（a）债券的价格为
8e
?0.11?8e?0.11*2?8e?0.11*3?8e?0.11*4?108e?0.11*5?86.80
?（b）债券的久期为
18e?0.11?2?8e?0.11*2?3?8e?0.11*3?4?8e?0.11*4?5?108e?0.11?5?4.256(年)86.80?（c)根据?期权、期货及其他衍生产品?（原书第七版）中的公式 ΔB=-BDΔy
当收益率下降0.2%时，债券价格的变化量为 86.80×4.256×0.002=0.74
因此债券的价格将从86.80提高至87.54。 （d）当年收益率为10.8%时，债券的价格为
8e8e
?0.108?8e?0.108*2?8e?0.108*3??0.108*4?108e?0.108*5?87.54
此时的债券价格同（c）计算的结论一致。
4.23、6个月期和一年期国库券（零息） 的价格分别为94.0
美元和89.0美元。1.5年期的债券每半年付券息4美 元，价格为94.84美元。2年期的债券每半年付息5美 元，价格为97.12美元。计算6个月期、1年期、1.5 年期以及2年期的零息利率。
解答：6个月期利率（连续复利计算）为2ln(1+6/94)=12.38%。一年期的利率为ln（1+11/89）=11.65%。对于1.5年期债券有
4e?0.1238*0.5?4e?0.1165*1.0?104e?1.5R?94.84式中，R是1.5年期的即期利率。上式化为
3.76?3.56?104ee?1.5R?0.8415R?0.115?1.5R?94.84
或R=11.5%。对于2年期的债券有
5e
?0.1238*0.5?2R?5e?0.1165*1.0?5e?0.115*1.5?
105e?97.12?0.7977
式中，R是2年期的即期利率。上式化为
e?2R
重庆理工大学期货与期权第二次作业第一次作业答案
