二、(16分) 解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程：
放气(绝热膨胀)等容升温(pi,V0,T0,Ni)????????(p0,V0,T,Nf)??????(pf,V0,T0,Nf)
其中，(pi,V0,T0,Ni),(p0,V0,T,Nf)和(pf,V0,T0,Nf)分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程pV?NkT，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有
pfpi?NfNi ①
另一方面，设V?是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为p0时的体积，即
绝热膨胀 (pi,V0,T0,Ni)?????(p0,V?,T,Ni)
1/?V0?p0????此绝热过程满足 ② ?V?pi?
NfV0?由状态方程有p0V??NikT和p0V0?NfkT，所以 ③ NiV?联立①②③式得
pf?p???0?pi?pi?1/?pip0 ④ 此即??pi ⑤
lnpfln由力学平衡条件有 pi?p0??ghi ⑥ pf?p0??ghf ⑦ 式中，p0??gh0为瓶外的大气压强，?是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小.由⑤⑥⑦式得
ln(1? ??hi)h0hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0 ⑧
利用近似关系式：当x1, ln(1?x)?x，以及 hi/h01, hf/h01，有
??hi/h0hi?hi/h0?hf/h0hi?hf ⑨
评分标准：本题16分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分．
解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程ab，再通过等容升温过程bc达到末态
绝热膨胀ab等容升温bc(pi,V1,T0)??????(p0,V0,T)??????(pf,V0,T0)
其中，(pi,V1,T0),(p0,V0,T)和(pf,V0,T0)分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体积与温度．留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程ab: pi??1T0???p0??1T?? ① bc: p0/T?pf/T0 ②
由①②式得
pf?p???0?pi?pi?1/?pip0 ③ 此即 ??pi ④
lnpfln由力学平衡条件有pi?p0??ghi ⑤ pf?p0??ghf ⑥
式中，p0??gh0为瓶外的大气压强，?是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小．由④⑤⑥式得
ln(1? ??hi)h0hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0 ⑦
利用近似关系式：当x1, ln(1?x)?x，以及 hi/h01, hf/h01，有
??hi/h0hi?hi/h0?hf/h0hi?hf ⑧
评分标准：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分．
三、（20分）
（1）平板受到重力PC、拉力QM0、铰链对三角形板的作用力NA和NB，各力及其作用点的坐标分别为：
PC?(0,?mgsin?,?mgcos?)，(0,0,h)； QM0?(0,Q,0)， (x0,0,z0)； NA?(NAx,NAy,NAz)，
式中
bb(,0,0)； NB?(NBx,NBy,NBz)， (?,0,0) 2212b2h?a?34xAxBx是平板质心到x轴的距离.
平板所受力和（对O点的）力矩的平衡方程为
?F?N?N?0 ①
② ?F?Q?N?N?mgsin??0?F?N?N?mgcos??0 ③ ?M?mghsin??Q?z?0 ④
yAyByzAzBzx0 bb ⑤ ?My?NBz2?NAz2?0
bbM?Q?x?N?N?0 ⑥ ?z0AyBy22mghsin?联立以上各式解得Q?z0
， NAx??NBx，
NAymgsin??2?hb2x0?mgsin?，1?(?)N?By?bzz0?20??即QM0?(0,mghsin?,0)， ⑦
z0mgsin?2?hb2x0?N?N?1mgcos?AzBz?1?b(z?z)?2 00? ?NA?(NAx,?hb2x0?1)?,mgcos?)， ⑧ ?1?(?z0?2?bz0NB?(?NAx,mgsin?2（2）如果希望在M(x,0,z)点的位置从点M0(x0,0,z0)缓慢改变的过程中，可以使铰链支点对板的作用力NBy保持不变，则需
?hb2x0?1)?,mgcos?)?1?(?⑨
bzz200??
NBy?mgsin??hb2x?1?(?)??常量 ⑩ ?2?bzz?b2xb2x0???zzz0z0?
M点移动的起始位置为M0，由⑩式得
或
?b2x?? b?2x???0?z?z0z0?
这是过A(
b,0,0)点的直线. (*) 2
因此，当力QM的作用点M的位置沿通过A点任一条射线(不包含A点)在平板上缓慢改变时，铰链支点B对板的作用力NBy保持不变. 同理，当力QM的作用点M沿通过B点任一条射线在平板上缓慢改变时，铰链支点A对板的作用力NAy保持不变.
评分标准：本题20分．第（1）问14分，①式1分，②③④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分；第（2）问6分，⑩?式各1分，(*) 2分，结论正确2分.
四、（24分）
（1）考虑小球沿径向的合加速度. 如图，设小球下滑至? 角位置时，小球相对于圆环的速率为v，圆环绕轴转动的角速度为? ．此时
v2与速率v对应的指向中心C的小球加速度大小为 a1? ①
R(?Rsin?)2同时，对应于圆环角速度?，指向OO?轴的小球加速度大小为a?? ②
Rsin?2(?Rsin?)该加速度的指向中心C的分量为a2?a?sin?? ③
R(?Rsin?)2该加速度的沿环面且与半径垂直的分量为a3?a?cos??cot? ④
R由①③式和加速度合成法则得小球下滑至? 角位置时，其指向中心C的合加速度大小为
? ?z C r ?l
? ?? ?
R v2(?Rsin?)2 aR?a1?a2? ⑤ ?RR在小球下滑至? 角位置时，将圆环对小球的正压力分解成指向环心的方向的分量N、垂直于环面的方向的分量T. 值得指出的是：
由于不存在摩擦，圆环对小球的正压力沿环的切向的分量为零. 在运动过程中小球受到的作用力是N、T和mg. 这些力可分成相互垂直的三个方向上的分量：在径向的分量不改变小球速度的大小，亦不改变小球对转轴的角动量；沿环切向的分量即mgsin?要改变小球速度的大小；在垂直于环面方向的分量即T要改变小球对转轴的角动量，其反作用力将改变环对转轴的角动量，但与大圆环沿OO?轴的竖直运动无关. 在指向环心的方向，由牛顿第二定律有
v2?(?Rsin?)2 ⑥ N?mgcos??maR?mR2合外力矩为零，系统角动量守恒，有L0?L?2m(Rsin?)? ⑦
式中L0和L分别为圆环以角速度?0和?转动时的角动量．
如图，考虑右半圆环相对于轴的角动量，在?角位置处取角度增量??，圆心角??所对圆弧?l的质量为?m???l（?其角动量为?L??m?r???l?rRsin????Rr?z???R?S ⑧ 式中r是圆环上? 角位置到竖直轴OO?的距离，?S为两虚线间
窄条的面积．⑧式说明，圆弧?l的角动量与?S成正比. 整个圆环（两个半圆环）的角动量为
2?m0），2?Rm0?R21L?2??L?2??R?m0R2? ⑨
2?R22[或：由转动惯量的定义可知圆环绕竖直轴OO?的转动惯量J等于其绕过垂直于圆环平面的对称轴的转动惯量的一半，即
11J?m0R2 ⑧ 则角动量L为L?J??m0R2? ⑨ ]
2212同理有L0?m0R?0 ⑩
2 力N及其反作用力不做功；而T及其反作用力的作用点无相对移动，做功之和为零；系统机械能守恒. 故
1Ek0?Ek?2?mgR(1?cos?)?2?m[v2?(?Rsin?)2] ?
2式中Ek0和Ek分别为圆环以角速度?0和?转动时的动能．圆弧?l的动能为
111?Ek??m(r?)2???l?2rRsin???R?2?S
222整个圆环（两个半圆环）的动能为
21m012?REk?2??Ek?2???R???m0R2?2 ? 22?R2412122[或：圆环的转动动能为Ek?J??m0R? ? ]
24122同理有Ek0?m0R?0 ?
4 根据牛顿第三定律，圆环受到小球的竖直向上作用力大小为2Ncos?，当
2Ncos??m0g ?
时，圆环才能沿轴上滑．由⑥⑦⑨⑩?? ?式可知，?式可写成
2m0?0Rcos?6mcos??4mcos??m0?2g式中，g是重力加速度的大小.
22??m01??(m?4msin2?)2??0 ?
0??
（2）此时由题给条件可知当?=30?时，?式中等号成立，即有
23m0R?0?9? ??23?m?m0?4g?2?2??m0(93?12)m?23m02g ? ?1?(m?m)2?或?0?(m0?m)3(2m?m)mmR0?? 00由⑦⑨⑩?式和题给条件得??m0m0(93?12)m?23m02m0g ? ????00m0+4msin2?m0+m3(2m0?m)mR223m0+(12?3)mm0?33m2由?????式和题给条件得 v?gR ?
6(2m0?m)m
评分标准：本题24分．第（1）问18分，①②③④⑤式各1分，⑥⑦式各2分，⑨⑩式各1分，?式2分，??式各1分，?式2分，?式1分；第（2）问6分，???式各2分． 五、（20分）（1）设圆盘像到薄凸透镜的距离为v. 由题意知：u?20cm, f?10cm，代入透镜成像公式
111??vuf ①
v?20cm ②
v其横向放大率为 ?????1 ③
u得像距为
可知圆盘像在凸透镜右边20cm，半径为5cm，为圆盘状，圆盘与其像大小一样.
（2）如下图所示，连接A、B两点，连线AB与光轴交点为C点，由两个相似三角形?AOC与?BB'C的关系可求得C点距离透镜为15cm. 1分
若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm处，此时圆形光阑在C点左侧. 1分
当圆形光阑半径逐渐减小时，均应有光线能通过圆形光阑在B点成像，因而圆盘像的形状及大小不变，而亮度变暗. 2分
此时不存在圆形光阑半径ra使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半．1分
A O
C B' B
（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm处，此时圆形光阑在C点（距离透镜为15cm）的右侧. 由下图所示，此时有:
CB'=BB'=5cm, R'B'=2cm,
利用两个相似三角形?CRR'与?CBB'的关系，得r?RR'=CR'5?2?BB'=?5cm?3cm ④ CB'5可见当圆盘半径r?3cm（光阑边缘与AB相交）时，圆盘刚好能成完整像，但其亮度变暗 4分
C
R' B'
B
若进一步减少光阑半径，圆盘像就会减小．当透镜上任何一点发出的光都无法透过光阑照在原先像的一半高度处时，圆盘像的半径就会减小为一半，如下图所示．此时光阑边缘与AE相交，AE与光轴的交点为D，由几何关系算得D与像的轴上距离为
R 20cm. 此时有 7620DR'=cm, DE'=cm, EE'=2.5cm,
77利用两个相似三角形?DRR'与?DEE'的关系，得
DR'20/7?2 ra?RR'=?EE'=?2.5cm?0.75cm ⑤
DE'20/7
可见当圆形光阑半径ra=0.75cm，圆盘像大小的半径的确变为（1）中圆盘像大小的半径的一半 3分
DR' R E'
E
（4）只要圆形光阑放在C点（距离透镜为15cm）和光屏之间，圆盘像的大小便与圆形光阑半径有关． 2分
（5）若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方6cm处，则当圆形光阑半径逐渐减小时，圆盘像的形状及大小不变，亮度变暗； 2分
同时不存在圆形光阑半径使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半． 1分
评分标准：第（1）问3分，正确给出圆盘像的位置、大小、形状，各1分； 第（2）问5分，4个给分点分别为1、1、2、1分；
第（3）问7分，2个给分点分别为2、3分；第（4）问2分，1个给分点为2分；第（5）问3分，2个给分点分别为2、1分．
六、（22分）
（1）固定金属板和可旋转金属板之间的重叠扇形的圆心角? 的取值范围为??0????0．整个电容器相当于2N个相同的电容器并联，因而
C(?)?2NC1(?)
①
式中C1(?)为两相邻正、负极板之间的电容
C1(?)?A(?) 4?ks ②
这里，A(?)是两相邻正负极板之间相互重迭的面积，有
?122?R(?0??), 当??0??????0??2A(?)??
12?2?R(2?0??), 当???0????0 ??2 ③
由②③式得
?R2(?0??), 当??0??????0??4?ksC1(?)??2
R(2???)0?, 当???0????0 ??4?ks?NR2(?0??), 当??0??????0??2?ksC(?)??2
?NR(2?0??), 当??????? 00?2?ks?
④
由①④式得
⑤
（2）当电容器两极板加上直流电势差E后，电容器所带电荷为
Q(?)?C(?)E 当?
⑥
?0时，电容器电容达到最大值Cmax，由⑤式得
NR2?0 Cmax?2?ks ⑦
第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案(word版)
