数学各种公式及性质
1． 乘法与因式分解
222222233
① (a＋b)(a－b)＝a－ b；②(a±b)＝a±2ab＋b；③ (a＋b)(a－ab＋ b)＝ a＋b；
223322222
④(a－b)(a＋ab＋b)＝ a －b； a＋b＝(a＋ b)－ 2ab；(a－b)＝(a＋ b)－4ab。
2． 幂的运算性质
①a×a＝a
m
n
m+n
；②a÷a＝ a
-n
mnm-n
；③(a)＝a
mnmn
⑥a＝
-n
1
；④(ab)＝a b；⑤( )＝ n ；
b b
nnn
a
n
a
n
n ，特别： ( )
＝( )n；⑦a0＝ 1(a≠0)。
a
3． 二次根式 ①( )＝a(a≥0)；② 4． 三角不等式
2
＝丨 a丨； ③
＝ ×
；④
＝ (a＞0，b≥0)。
|a|-|b| ≤ |a ± b| ≤ |a|+|b|（定理）； 为向量 a 和向量 b）
加强条件： ||a|-|b|| ≤|a ±b| ≤也|a|+|b|成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中 a，b 分别
|a+b| ≤ |a|+|b|；|a-b| ≤ |a|+|b；|a| ≤ b<=>-≤ a≤；b |a-b| ≥ |a|-|b|； -|a| ≤ a≤；|a| 5． 某些数列前 n 项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+? +n=n(n+1)/2； 1+3+5+7+9+11+13+15+? +(2n-1)=n2 ；
2+4+6+8+10+12+14+? +(2n)=n(n+1)； 12+22+32 +42+52+62+72+82+? +n2=n(n+1)(2n+1)/6；
3
3
3
3
3
3
3 2
2
1 +2 +3 +4 +5 +6 +?n=n (n+1) /4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7 +? +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 ； 6． 一元二次方程
对于方程： ax2 ＋bx＋ c＝ 0：
2
①求根公式 是 x＝
b
b
4ac
，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
当△ ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△ ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△ ＜0时，方程没有实数根．注意：当 △≥0时，方程有实数根。 ②若方程有两个实数根 x1 和x2，则二次三项式 ax2＋bx＋c可分解为 a(x－ x1 )(x－x2)。
7． 一次函数
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线 (b是直线与 y轴的交点的纵坐标，称为截距 )。①当k＞0时， y随x的增大而增大 (直线从左向右上升 )；②当k＜0时， y随x的增大而减小 (直线从左向右下降 )；
③特别地：当 b＝0时， y＝ kx(k≠0)又叫做正比例函数 (y与x成正比例 )，图象必过原点。
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1
8． 反比例函数
反比例函数 y＝ (k≠0)的图象叫做双曲线。
①当k＞0时，双曲线在一、三象限 (在每一象限内，从左向右降 )；②当k＜0时，双曲线在二、四象限 (在每一象限内，从左向右上升 )。
9． 二次函数
（ 1）.定义： 一般地，如果 y ax 2 bx c(a,b, c 是常数， a （ 2）.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点。
0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。
① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向下； a 相
等，抛物线的开口大小、形状相同。 ② 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x 函数解析式
h .特别地， y 轴记作直线 x
0 。
（ 3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
开口方向
对称轴 x x
0（ y 轴） 0（ y 轴）
顶点坐标 （0,0） (0, k )
y ax 2 y
ax 2
k
当 a 0 时 开口向上
2
2
y a x y a x h 2
2
h
k
x h (h ,0) ( h ,k )
当 a 0时 开口向下
x h
y ax
bx c
x
b 2a
(
b 4ac b
，
)
2a
4a
（ 4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
①公式法： y
ax bx c
a x
b
2
4ac b 2
，∴顶点是（
b ，
4ac b 2
）
，对称轴是
2a
4a
2a
4a
直线 x
b 。 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x
h 2
k 的形式，得到顶点为
( h , k )，对称轴是直线 x h 。
③运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 对称轴与抛物线的交点
是顶点。
若已知抛物线上两点 (x1, y)、(x2 , y)（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： x
x1 x2 2
2
（ 5） .抛物线 y ax bx
c 中， a, b, c 的作用
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2
① a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax2 中的 a 完全一样。 ② b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 y
x
b ，故： ① b 0时，对称轴为 y 轴； ②
b
a
ax 2 bx c 的对称轴是直线。
0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴
2a
左侧； ③
a
b
0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧。
③ c 的大小决定抛物线 y
ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置。
ax 2 当 x 0时， y c ，∴抛物线 y ① c 0 ，抛物线经过原点 ; ② c
bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）：
b a
0 ,与 y 轴交于正半轴； ③ c 0 ,与 y 轴交于负半轴 .
0。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则
（ 6） .用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式： y ②顶点式： y
ax2
bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 .
k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
a x h 2
③交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、 x2 ，通常选用交点式： y a x x1 x x2 （ 7）.直线与抛物线的交点
。
① y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为 (0, c )。 ②抛物线与 x 轴的交点。 二次函数 y ax2
ax 2 bx c
bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ，是对应一元二次方程 0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
a 有两个交点 c 没有交点
(
(
0 ) 0 ) 抛物线与 x 轴相交；
( 0 )
抛物线与 x 轴相离。
b 有一个交点（顶点在 x 轴上） 抛物线与 x 轴相切；
③平行于 轴的直线与抛物线的交点
同②一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等， 设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 ④一次函数 y kx n k
xbx
c k 的两个实数根。
bx c a
0 的图像 l 与二次函数 y ax 2 的解的数目来确定：
0 的图像 G 的交点，由
方程组
y kx n y ax2 bx c
a 方程组有两组不同的解时 b 方程组只有一组解时 c 方程组无解时
l 与 G 有两个交点；
l 与 G 只有一个交点；
l 与 G 没有交点。
⑤ 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ：若 抛 物 线 y A x ，， B x ，
0 ，则 AB 2 1 0
x1 x2
ax2
bx c 与 x 轴 两 交 点 为
10． 统计初步
（ 1）概念：①所要考察的对象的全体叫做 总体，其中每一个考察对象叫做 个体．从总体中抽
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