四 渐开线与摆线
课后篇巩固探究
A组
1.下列说法正确的是( )
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;
③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( )
A.②③ B.② C.③ D.①③ 答案B 2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是( ) A.(π,0) B.(π,1) C.(2π,2) D.(2π,0) 解析依次将点代入验证即可. 答案D 3.当φ=2π时,圆的渐开线(φ为参数)上对应的点是( ) A.(6,0) B.(6,6π) C.(6,-12π) D.(-π,12π)
解析当φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得
即所求的坐标为(6,-12π). 答案C 4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是 . 答案(6π+4,4)
5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为 . 解析因为r=3,
所以圆的摆线的参数方程为(φ为参数). 把φ=代入得x=π-,y=3-. 故该点的坐标为. 答案 6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程. 解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4,
所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数). 7.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0. (1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系? (2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.
解(1)圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.
(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).
8.导学号73574057当φ=,π时,求出渐开线(φ为参数)上的对应点A,B,并求出A,B两点间的距离. 解将φ=代入
得
所以A.
将φ=π代入
得所以B(-1,π).故A,B两点间的距离为|AB|=.
9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处(点O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹的参数方程.
解由题意知xM=r·φ-r·cos=r(φ-sin φ),yM=r+r·sin=r(1-cos φ).故点M的轨迹的参数方程为(φ为参数).
B组
1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为( ) A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) D.(φ为参数)
解析图象关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换. 答案B 2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=对应的点A与点B之间的距离为( ) A.-1 B. C. D.
解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,
所以|AB|=. 答案C 3.导学号73574058如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是( )
A.3π B.4π C.5π D.6π
解析根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π. 答案C 4.已知渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为 .
解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c==7.
故焦点坐标为(7,0)和(-7,0). 答案(7,0)和(-7,0)
5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.
解令y=0,可得r(1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sin φ),
得x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N*).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为
(φ 为参数).
6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.
解依题意可知点M的轨迹是摆线,其参数方程为(φ为参数,且0≤φ≤2π).
其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.
易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.
2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4课后习题：2-4渐开线与摆线 含解析 精品
