§1.3 三角函数的诱导公式(一)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)． 知识点一 诱导公式二
思考 角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？
答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二
sin?π＋α?＝－sin α， cos?π＋α?＝－cos α， tan?π＋α?＝tan α.
知识点二 诱导公式三
思考 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？
答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式三
sin?－α?＝－sin α， cos?－α?＝cos α， tan?－α?＝－tan α.
知识点三 诱导公式四
思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？
答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式四
sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.
梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
1．诱导公式中角α是任意角．( × )
提示 正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义． 2．sin(α－π)＝sin α.( × )
提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 41
3．cos π＝－.( √ )
32
提示 cos
π4ππ1π＋?＝－cos ＝－. ＝cos??3?332
4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．( × ) 提示 在角度制和弧度制下，公式都成立．
类型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin
43π11π
－?；(4)cos(－1 920°；(3)sin?)． ?6?4
考点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 题点 同名诱导公式(二、三、四)的综合应用 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－
3
. 2
3π 11π
2π＋? (2)sin＝sin?4??4π3π
π－? ＝sin＝sin??4?4π2
＝sin＝.
42
43π7π－?＝－sin?6π＋? (3)sin?6??6??π7ππ1
π＋?＝sin＝. ＝－sin＝－sin??6?662(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)
1
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 2
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
【高中数学必修四】第1章 三角函数的诱导公式(一)
