§2.10 函数模型及其应用
1．几类函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) kf (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) xf (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) f (x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
2.三种函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较
y＝ax(a>1) f (x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 单调递增 相对平稳 随n值变化而各有不同 存在一个x0，当x>x0时，有logax 请用框图概括解函数应用题的一般步骤． 提示 解函数应用题的步骤 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × ) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × ) (3)已知a>0且a≠1，则不存在x0，使a (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二 教材改编 2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3 解析 设隔墙的长度为x(0 2∴当x＝3时，y最大． 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生1 产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月 2应生产该商品数量为______万件． 答案 18 1 解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 2 x0当x＝18时，L(x)有最大值． 4．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________． 1 ，＋∞? 答案 ??2? 解析 由题意得，m·2t＋21t≥2恒成立(t≥0，且m>0)， 1－ 又m·2t＋21t≥22m，∴22m≥2，∴m≥. 2 题组三 易错自纠 5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质1 含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次 3数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A．6 B．9 C．8 D．7 答案 BC 解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则 2?n12?2?n1 ×?3?≤，即??3?≤20， 1001 000 － － 1＋lg 22 由nlg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4，故选BC. 3lg 3－lg 2 6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案 ?p＋1??q＋1?－1 解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝?1＋p??1＋q?－1. 7．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 答案 200 解析 由题意知100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)． 当x＝8时，y＝100log39＝200.
2024高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.10 函数模型及其应用 (含解析)
