2020年《质数与合数》练习题 (55)

2020年《质数与合数》练习题

1．若n是质数，且分数11 ．

【分析】先根据分数

不约分或经过约分后是一个最简分数的平方可设n+17＝ka2，

是最简分数和不是最简分数

不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n＝ 31 或

n﹣4＝kb2，由n是质数判断出n的取值范围，再根据两种情况进行讨论．

【解答】解：根据题意可设n+17＝ka2…①，n﹣4＝kb2，…②，最简分数的平方就是：

＝（）2，两式相减，得k（a2﹣b2）＝21， k（a+b）（a﹣b）＝1×3×7

可知，质数n必定大于4，否则n﹣4将小于0，所以n是奇质数，则n﹣4为奇数，n+17为偶数．可知a+b＞a﹣b，所以 ①若k＝1， a+b＝7， a﹣b＝3，

解得：a＝5，b＝2，此时n﹣4＝4，为偶数，不符； 或者：k＝1， a+b＝21， a﹣b＝1，

解得：a＝11，b＝10，此时n﹣4＝100，为偶数，不符； ②所以k＝3， a+b＝7， a﹣b＝1，

解得：a＝4，b＝3，此时n＝31，n﹣4＝27，n+17＝48，

＝

＝

＝（）2，符合要求；

1

是最简分数，则有

不是最简分数，则有

或者：k＝7， a+b＝3， a﹣b＝1，

解得：a＝2，b＝1，此时n＝11，n﹣4＝7，n+17＝28，

＝

＝＝（）2，符合要求．

综上所述，n的值为31和11． 故答案为：31或11．

【点评】本题考查的是质数与合数的定义，在解答此题时一定要分是最简分数两种情况讨论，不要漏解．

是最简分数和不

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