北京工业大学2003—2004学年第二学期
“高等数学（工、信）—2”期中考试试卷
一、单项选择：（本大题共五小题，每小题四分，共20分）
1、设二元函数f(x,y)在点（）的某一邻域内有定义，则下列命题正确的是（ ）
fy'(x0,y0)fx'(x0,y0)f(x,y)A、如果在点（）处连续，则两个偏导数，存在 B、如果两个偏导数
fx'(x0,y0)，
fy'(x0,y0)存在，则f(x,y)在该点连续
C、如果f(x,y)在点（）处可微，则f(x,y)在该点连续 D、如果两个偏导数
fx'(x0,y0)，
fy'(x0,y0)存在，则f(x,y)在点（）处可微
2、设函数连续，区域A、?1D??(x,y)x2?y2?2y}，则
??f(xy)ddxD2y?y2y?（ ）
?1dx?d??1?x2?1?x22sin?f(xy)dy B、
2?dy?020f(xy)dx
C、?0?0f(r2sin?cos?)dr D、?0?d??2sin?0f(r2sin?cos?)rdr3、下列曲线的方向均为所围区域的正向，则积分曲线L曲线L所围区域上可直接使用格林公式的是（ ）
?xdx?ydyx2?y2的计算在下列
222222L:x?y?1L:(x-1)?y?2L:3(x-1)?y?2 D、L:x?y?1 A、 B、 C、
4、设z?xy，则点是该函数的（ ）
A、间断点 B、极大值点 C、极小值点 D、驻点
2y??1?x5、设L是曲线上从点A(1,0)到点B(0,?1)的一段弧，则曲线积分
?Lf(x,y)ds?1（ ）
2A、?C、?0f(x,1?x)dx B、
??322?f(cos?,sin?)d?
?20?f(cos?,sin?)d? D、
?20d??f(rcos?,rsin?)rdr01
二、填空题：（本大题共4小题，每空4分，共24分）
33?2zz?3xyz?a(a?0)z?z(x,y)x?o=_______________ 6、设确定了，则
?x?yy?o7、若曲线积分
I??(x4?4xy3)dx?(6x??1y2?5y4)dyL在面内与积分路径无关，则
常数为___________________
22z?x?y8、与围成图形体积为___________________
22???z?x?y,z?1,9、设为则三重积分?f(xyz)d?在
直角坐标系下的累次积分为___________________________
柱面坐标系下的累次积分为___________________________
球面坐标系下的累次积分为___________________________
三、计算下列各题：（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
10、设u?f(z)，其中z是由方程z?x?y?(z)所确定的x与的函数，其中与均为
?u'y?(z)?1，求?y。 可导函数，且
2z11、求圆点到曲面?xy?x?y?4的最短距离（即距离的平方和最小）。
12、计算二重积分
?d?1214yy12edx??1dy?edx2yyx1yyx。
13、计算曲线积分
I??(exsiny?y3)dx?(excosy?x3)dxL，其中是沿半圆周
x?1?y2从点A(0,?1)到点B(0,1)的弧段 。
14、计算曲面积分
I???2xz2dydz?y(z2?1)dzdx?(9?z3)dxdy?，其中是曲面
z?x2?y2?1被平面所截下部分的下侧 。
22z?x?y15、求曲面被平面所截下部分的曲面的面积。
四、证明题：（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
?u?xcos??ysin????z?fu,v,16、设而?v?xsin??ycos?，其中是常数，具有二阶连续偏导数。
?2z?2z?2z?2z?2?2?22?v?x?y 证明： ?u
17、设函数在上连续，证明：
?d?0x11x21?1?f(x)f(y)dy??f(x)dx??0?。 2?
北京工业大学2003—2004学年第二学期
“高等数学（工，信）-2”期中考试试卷 参考答案
一、单项选择题
1、C [多元函数可微必可导，而连续却不一顶可微]
2、D [积分表达式在直角坐标下的等价公式要正确找到上下限，而用极坐标换
元则要使用x?rcos?，y?rsin?及dxdy?rdrd?来确定r和?的
上下限]
3、C [格林公式使用的前提是D为平面单连通区域，所要求曲线所围成的部分
要满足这个条件] 4、D [显然，原点满足
fx(x,y)?0，fy(x,y)?0]
5、C [对弧长的曲线积分的第一类对坐标的积分的公式转换]
二、填空题
2133??z6、 [令F(x,y,z)?z?3xyz?a，先求出，后再求z，最后代入数据]
a?x?y?x7、3 [由?Pdx??Qdy在单连通区域内与积分路径无关，得?P??Q]
LL?y?x8、8? [体积V??2?0d??rdr?2dz]
0r249、直角坐标系下为 柱面坐标系下为 球面坐标系下为
三、计算题 10、
?dx?011?x201dy?1r1x2?y2f(x,y,z)dz
??2?02?d??dr?rf(r,?,z)dz
0?00d??4d??4cos?0r2cos?dr
?z?z?(z)?[x?y?(z)]1y??(z)??'(z)?? ?y?y1??'(z)?u?u?z?z?(z)???f'(z)??f'(z)? ?y?z?y?y1??'(z) 则
11、设d为曲面上的点(x,y,z)到原点的距离
2222则d?x?y?z
约束条件得：L?d??(xy?x?y?4?z)
22
高数03-04第二学期期中
