中考数学重难点专题讲座
第四讲 一元二次方程与二次函数
【前言】
前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分 真题精讲
【例1】2010，西城，一模
已知：关于x的方程mx2?3(m?1)x?2m?3?0． ⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数y1?mx2?3(m?1)x?2m?1的图象关于y轴对称． ①求二次函数y1的解析式；
②已知一次函数y2?2x?2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
0)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三⑶在⑵条件下，若二次函数y3?ax2?bx?c的图象经过点(?5，个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2，均成立，求二次函数y3?ax2?bx?c的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y1的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将y3用只
含a的表达式表示出来,再利用y1≥y3≥y2,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解：（1）分两种情况：
当m?0时，原方程化为3x?3?0，解得x?1， （不要遗漏） ∴当m?0，原方程有实数根.
当m?0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵△?[?3?m?1?]2?4m?2m?3??m2?6m?9??m?3?≥0.
∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）
综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.
（2）①∵关于x的二次函数y1?mx?3(m?1)x?2m?3的图象关于y轴对称，
22∴3(m?1)?0.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴m?1.
∴抛物线的解析式为y1?x2?1.
②∵y1?y2?x2?1??2x?2???x?1?≥0，（判断大小直接做差） ∴y1≥y2（当且仅当x?1时，等号成立）. （3）由②知，当x?1时，y1?y2?0.
∴y1、y2的图象都经过?1,0?. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） ∵对于x的同一个值，y1≥y3≥y2， ∴y3?ax2?bx?c的图象必经过?1,0?. 又∵y3?ax2?bx?c经过??5,0?，
∴y3?a?x?1??x?5??ax2?4ax?5a. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）
2设y?y3?y2?ax?4ax?5a?(2x?2)?ax2?(4a?2)x?(2?5a).
2∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立， ∴y3?y2≥0，
321-6-5-4-3-2-1-1-2-3图712
∴y?ax2?(4a?2)x?(2?5a)≥0. 又根据y1、y2的图象可得 a?0， ∴y最小4a(2?5a)?(4a?2)2?≥0.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）
4a∴(4a?2)2?4a(2?5a)≤0. ∴(3a?1)2≤0. 而(3a?1)2≥0.
只有3a?1?0，解得a?∴抛物线的解析式为y3?
【例2】2010，门头沟，一模
关于x的一元二次方程(m2?1)x2?2(m?2)x?1?0. （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
1. 31245x?x?. 333?1?是抛物线y?(m2?1)x2?2(m?2)x?1上的点，求抛物线的解析式； （2）点A??1，（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
2m?2）（1）由题意得????（??4(m2?1)?0
2 解得m?m2?1?0
5 4 解得m??1 当m?5且m??1时，方程有两个不相等的实数根. 4（2）由题意得m2?1?2(m?2)?1??1
m?1（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 解得m??3， y?8x2?10x?1 （3）抛物线的对称轴是x?5 8?1??1? (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 由题意得B??，?4?1 x??与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)
4 另设过点B的直线y?kx?b（k?0）
k1?1??1?代入y?kx?b，得??b??1，b?k?1 把B??，44?4?1 y?kx?k?1
4?y?8x2?10x?1? ?1y?kx?k?1??412整理得8x?(10?k)x?k?2?0
412有且只有一个交点，??(10?k)?4?8?(?k?2)?0
4 解得k?6 y?6x?1 211综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有x??，y?6x?
42 【例3】
已知P（?3,m)和Q（1，m）是抛物线y?2x?bx?1上的两点．
2（1）求b的值；
（2）判断关于x的一元二次方程2x2?bx?1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线y?2x?bx?1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k2的最小值．
【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，
十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物 第二问依然是判别式问题，线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以，抛物线对称轴x??b?3?1?，所以，b?4． 42（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2?4x?1=0． 因为，?b2?4ac=16－8=8?0． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是 x1??b?2a??1?2?b?，x2?22a2??1?2． 2（3）由（1）可知，抛物线y?2x?4x?1的图象向上平移k（k是正整数）个单位后的解析式为
y?2x2?4x?1?k．
若使抛物线y?2x?4x?1?k的图象与x轴无交点，只需2x2?4x?1?k?0 无实数解即可．
2由?b2?4ac=16?8(1?k)=8?8k<0，得k?1 又k是正整数，所以k得最小值为2．
【例4】2010，昌平，一模
已知抛物线y?ax2?4ax?4a?2，其中a是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若a?2，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 5【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给a?值.
（1）依题意，得a?0，
2,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取5
中考数学重难点专题讲座一元二次方程与二次函数含答案
