中考数学重难点专题讲座
第四讲 一元二次方程与二次函数
【前言】
前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分 真题精讲
【例1】2010,西城,一模
已知:关于x的方程mx2?3(m?1)x?2m?3?0. ⑴求证:m取任何实数时,方程总有实数根;
⑵若二次函数y1?mx2?3(m?1)x?2m?1的图象关于y轴对称. ①求二次函数y1的解析式;
②已知一次函数y2?2x?2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;
0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三⑶在⑵条件下,若二次函数y3?ax2?bx?c的图象经过点(?5,个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2,均成立,求二次函数y3?ax2?bx?c的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可。事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y1的一条切线,只有一个公共点(1,0)。根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。于是通过代点,将y3用只
含a的表达式表示出来,再利用y1≥y3≥y2,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解:(1)分两种情况:
当m?0时,原方程化为3x?3?0,解得x?1, (不要遗漏) ∴当m?0,原方程有实数根.
当m?0时,原方程为关于x的一元二次方程,
∵△?[?3?m?1?]2?4m?2m?3??m2?6m?9??m?3?≥0.
∴原方程有两个实数根. (如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了)
综上所述,m取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于x的二次函数y1?mx?3(m?1)x?2m?3的图象关于y轴对称,
22∴3(m?1)?0.(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0) ∴m?1.
∴抛物线的解析式为y1?x2?1.
②∵y1?y2?x2?1??2x?2???x?1?≥0,(判断大小直接做差) ∴y1≥y2(当且仅当x?1时,等号成立). (3)由②知,当x?1时,y1?y2?0.
∴y1、y2的图象都经过?1,0?. (很重要,要对那个等号有敏锐的感觉) ∵对于x的同一个值,y1≥y3≥y2, ∴y3?ax2?bx?c的图象必经过?1,0?. 又∵y3?ax2?bx?c经过??5,0?,
∴y3?a?x?1??x?5??ax2?4ax?5a. (巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)
2设y?y3?y2?ax?4ax?5a?(2x?2)?ax2?(4a?2)x?(2?5a).
2∵对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立, ∴y3?y2≥0,
321-6-5-4-3-2-1-1-2-3图712
∴y?ax2?(4a?2)x?(2?5a)≥0. 又根据y1、y2的图象可得 a?0, ∴y最小4a(2?5a)?(4a?2)2?≥0.(a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)
4a∴(4a?2)2?4a(2?5a)≤0. ∴(3a?1)2≤0. 而(3a?1)2≥0.
只有3a?1?0,解得a?∴抛物线的解析式为y3?
【例2】2010,门头沟,一模
关于x的一元二次方程(m2?1)x2?2(m?2)x?1?0. (1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根;
1. 31245x?x?. 333?1?是抛物线y?(m2?1)x2?2(m?2)x?1上的点,求抛物线的解析式; (2)点A??1,(3)在(2)的条件下,若点B与点A关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式,比较简单。值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】:
2m?2)(1)由题意得????(??4(m2?1)?0
2 解得m?m2?1?0
5 4 解得m??1 当m?5且m??1时,方程有两个不相等的实数根. 4(2)由题意得m2?1?2(m?2)?1??1
m?1(舍) (始终牢记二次项系数不为0) 解得m??3, y?8x2?10x?1 (3)抛物线的对称轴是x?5 8?1??1? (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 由题意得B??,?4?1 x??与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)
4 另设过点B的直线y?kx?b(k?0)
k1?1??1?代入y?kx?b,得??b??1,b?k?1 把B??,44?4?1 y?kx?k?1
4?y?8x2?10x?1? ?1y?kx?k?1??412整理得8x?(10?k)x?k?2?0
412有且只有一个交点,??(10?k)?4?8?(?k?2)?0
4 解得k?6 y?6x?1 211综上,与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有x??,y?6x?
42 【例3】
已知P(?3,m)和Q(1,m)是抛物线y?2x?bx?1上的两点.
2(1)求b的值;
(2)判断关于x的一元二次方程2x2?bx?1=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由;(3)将抛物线y?2x?bx?1的图象向上平移k(k是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k2的最小值.
【思路分析】 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,
十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错。但是仔细看题,发现P,Q纵坐标是一样的,说明他们关于抛物 第二问依然是判别式问题,线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b。比较简单。第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同,所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等. 所以,抛物线对称轴x??b?3?1?,所以,b?4. 42(2)由(1)可知,关于x的一元二次方程为2x2?4x?1=0. 因为,?b2?4ac=16-8=8?0. 所以,方程有两个不同的实数根,分别是 x1??b?2a??1?2?b?,x2?22a2??1?2. 2(3)由(1)可知,抛物线y?2x?4x?1的图象向上平移k(k是正整数)个单位后的解析式为
y?2x2?4x?1?k.
若使抛物线y?2x?4x?1?k的图象与x轴无交点,只需2x2?4x?1?k?0 无实数解即可.
2由?b2?4ac=16?8(1?k)=8?8k<0,得k?1 又k是正整数,所以k得最小值为2.
【例4】2010,昌平,一模
已知抛物线y?ax2?4ax?4a?2,其中a是常数. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)若a?2,且抛物线与x轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解析式. 5【思路分析】本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给a?值.
(1)依题意,得a?0,
2,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取5
中考数学重难点专题讲座一元二次方程与二次函数含答案
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