2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1. A 7．B
2．B 8．D
3．B 9．D
4．C
5．D
6．C
10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．23
14．-5
15．23 316．415cm
3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长. 解：（1）
1a21a由题设得acsinB?，即csinB?
23sinA23sinA1sinA sinCsinB?23sinA2故sinBsinC?。
3由正弦定理得（2）
由题设及（1）得cosBcosC?sinBsinC??所以B?C?11，即cos(B?C)?? 222??，故A? 331a2由题设得bcsinA?，即bc?8
23sinA222由余弦定理得b?c?bc?9，即(b?c)?3bc?9，得b?c?33 故?ABC的周长为3?33 18.（12分）解：
（1）由已知?BAP??CDP?90，得AB?AP，CD?PD
由于AB//CD，故AB?PD， 从而AB?平面PAD 又AB?平面PAB，所以平面PAB?平面PAD （2）在平面PAD内作PF?AD，垂足为F
由（1）可知，AB?平面PAD，故AB?PF， 可得PF?平面ABCD
ouuuruuur以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间
直角坐标系F?xyz
由（1）及已知可得A(2222,0,0),P(0,0,),B(,1,0),C(?,1,0) 2222uuurruuurr22uuu22uuu,1,?),CB?(2,0,0),PA?(,0,?),AB?(0,1,0) 所以PC?(?2222设n?(x,y,z)是平面PCB的法向量，则
uuur?22??n?PC?0,??x?y?z?0,即?2 r?uuu2??y?0?n?CB?0?可取n?(0,?1,?2)
设m?(x,y,z)是平面PAB的法向量，则
uuur?22??m?PA?0,?x?z?0,即 uuur??22??m?AB?0?y?0?可取m?(1,0,1)
则cos?n,m??n?m3 ??|n||m|33 3所以二面角A?PB?C的余弦值为?19．（12分）解：
（1）抽取的一个零件的尺寸在(??3?,??3?)之内的概率为，从而零件的尺寸在
(??3?,??3?)之外的概率为，故X~B(16,0.0026)，因此
P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.997416?0.0408
X的数学期望为EX?16?0.0026?0.0416
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(??3?,??3?)之外的概率只有，一天内
抽取的16个零件中，出现尺寸在(??3?,??3?)之外的零件的概率只有，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。
??9.97,?的估计值为???0.212，（ii）由x?9.97,s?0.212，得?的估计值为???3??,???3??)之外，因此需对当天由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(?的生产过程进行检查。
??3??,???3??)之外的数据，剩下数据的平均数为 剔除(?1(16?9.97?9.22)?10.02 15因此?的估计值为
16?xi?12i?16?0.2122?16?9.972?1591.134
??3??,???3??)之外的数据，剩下数据的样本方差为 剔除(?1(1591.134?9.222?15?10.022)?0.008 15因此?的估计值为0.008?0.09
20.（12分）解：
（1）由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,P4两点
又由
1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上 ???a2b2a24b2?1?1,22???b?a?4因此?解得?2
??1?3?1?b?1??a24b2x2?y2?1 故C的方程为4（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2
如果l与x轴垂直，设l:x?t，由题设知t?0，且|t|?2，可得A,B的坐标分别为
4?t24?t2(t,),(t,?)
22则k1?k2?4?t2?24?t2?2???1，得t?2，不符合题设
2t2tx2?y2?1得 从而可设l:y?kx?m(m?1)，将y?kx?m代入4(4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0
由题设可知??16(4k?m?1)?0
228km4m2?4,x1x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??2 24k?14k?1而 k1?k2?y1?1y2?1? x1x2kx1?m?1kx2?m?1? x1x22kx1x2?(m?1)(x1?x2)
x1x2??由题设k1?k2??1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0
4m2?4?8km?(m?1)?0 即(2k?1)224k?14k?1解得k??m?1 2m?1x?m， 2当且仅当m??1时，??0，于是l:y??所以l过定点(2,?1) 21.（12分）解：
（1）f(x)的定义域为(??,??)，f?(x)?2ae2x?(a?2)ex?1?(aex?1)(2ex?1)
（i）若a?0，则f?(x)?0，所以f(x)在(??,??)单调递减 （ii）若a?0，则由f?(x)?0的x??lna
当x?(??,?lna)时，f?(x)?0； 当x?(?lna,??)时，f?(x)?0
所以f(x)在(??,?lna)单调递减，在(?lna,??)单调递增。
（2）（i）若a?0，由（1）知，f(x)至多有一个零点
（ii）若a?0，由（1）知，当x??lna时，f(x)取得最小值，最小值为
1f(?lna)?1??lna
a① 当a?1时，由于f(?lna)?0，故f(x)只有一个零点； ② 当a?(1,??)时，由于1?点；
③ 当a?(0,1)时，1?又f(?2)?ae个零点。
设正整数n0满足n0?ln(?1)，
则f(n0)?e0(ae0?a?2)?n0?e0?n0?20?n0?0 由于ln(?1)??lna，因此f(x)在(?lna,??)有一个零点 综上，a的取值范围为(0,1)
22．解：
（1）曲线C的普通方程为，
当a??1时，直线l的普通方程为x?4y?3?0
nnnn1?lna?0，即f(?lna)?0，故f(x)没有零a1?lna?0，即f(?lna)?0又 a?4?(a?2)e?2?2??2e?2?2?0，故f(x)在(??,?lna)有一
3a3a21?x???x?4y?3?0,?x?3,???225由?x解得或 ??2?y?0?y?24??y?1?9?25?从而C与l的交点坐标为(3,0),(?2124,) 2525（2）直线l的普通方程为x?4y?a?4?0，故C上的点(3cos?,sin?)到l的距离为
d?|3cos??4sin??a?4|
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2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷
