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第24届全国中学生物理竞赛决赛试卷
理论部分
(考试时间:180分钟;满分:140分)
一、(本题25分)
质量均为m的三个小球A,B,C处于光滑水平面上。A和B,B和C之间分别用长为l的细线相连。AB的延长线与BC的夹角α=π/3。在平面内建立xOy系,其中O点与B球重合。x轴和y轴的方向如图所示。今有一质量同为m的小球D,沿y轴负方向以速度v0向B球运动。在碰撞结束的一瞬间,两条绳均断。问在此之后,经多长时间D球与ABC三球的质心间距最小?
二、(本题20分)
为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近,可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船,要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内,轨道的近日点到太阳的距离为百分之一AU(AU为距离的天文单位,表示太阳和地球之间的平均距离,1AU=1.495*10 E12m),并与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计算,设地球以圆轨道绕太阳运动)。试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u(发射速度是指在关闭火箭发动机,停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船,才能使飞船在克服地球引力作用后,仍在地球绕太阳运行轨道附近(也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看作在地球轨道上)进入符合要求的椭圆轨道绕日运行?
已知地球半径R=6.37*10E6m,地面处的重力加速度g=9.80m/s2,不考虑空气阻力。 三、(本题10分)
如图所示,在一个封闭的高为H的桶中,内横截面积为S的绝热气缸中,有一个质量为m的活塞A把气缸分成上下两部分,活塞可在缸内贴着缸壁无摩擦地上下滑动。气缸顶部与A之间串联着劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧。A的上方为真空,下方充有一定质量的理想气体。已知体系处于平衡状态,A所在处的高度(其下表面距气缸地面的距离)与两弹簧总共的压缩量相等,皆为h1=H/4。献给电炉丝R通以电流对气体加热,使A从高度h1处开始上升,停止加热后系统达到平衡时,活塞的高度为h2=3H/4.求此过程中气体吸收的热量ΔQ。
已知当体积不变时,每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2。R为普适气体常量。在整个过程中假设弹簧始终服从胡克定律。
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四、(本题25分)
为了减少线路的输电损耗,电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式。在传输线路上建造一系列接地的铁塔,把若干绝缘子连成串(称为绝缘子串,如图1)。其上端A挂在铁塔的横臂上,高压输电线悬挂在其下端B。绝缘子的图示如图2所示。在半径为R1的导体球外紧抱有耐高压的半球形陶瓷绝缘介质。介质外是一内半径为R2的导体球壳。已知导体球与导体球壳之间的电压为U时,介质中离球心距离为r处的场强为E=R1R2U/[(R1-R2)r2],场强方向沿径向。
1.已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm,陶瓷介质的击穿强度为Ek=135kV/cm,当介质内任一点的场强E>Ek时,介质即被击穿,失去绝缘性能。为使绝缘子所能承受的电压(即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压)为最大,导体球的半径R1应取什么值?此时对应的交流电压的峰值是多少? 2.一个铁塔下挂有四个绝缘子组成的绝缘子串(如图1),每个绝缘子的两极间有电容C0,每一绝缘子的下部导体(即导体球)对于铁塔(即对地)有分布电容C1(导体球与铁塔相当于电容器的两个极板,它们之间有一定的电容,这种电容称为分布电容),每个绝缘子的上部导体(即导体球壳)相对于高压输电线有分布电容C2,若高压输电线对地电压有效值??,试计算系统所能承受的最大电压。 3.若C0=70pF=7×10-11F,C1=5pF,C2=1pF,试计算系统所能承受的最大电压(指有效值)。
五、(本题25分)
如图所示,G为一竖直放置的细长玻璃管,以其底端O为原点,建立一直角坐标系Oxy,y与玻璃管的轴线重合。在x轴上与原点距离为d处固定放置一带电量为Q的正点电荷A,一个电荷量为q(q>0)的粒子P位于关内,可沿y轴无摩擦地运动。设两电荷间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响。
1.求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时,可以在y>0的区域内存在平衡位置。
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2.上述平衡状态可以是稳定的,也可能是不稳定的,它依赖于粒子的质量m。以y(m)表示质量为m的带电粒子P处于平衡位置时的y坐标。当粒子P处于稳定平衡状态时,y(m)的取值区间是 ;当粒子P处于不稳定平衡状态时,y(m)的取值区间是 。
3.已知质量为m的粒子P处于稳定平衡状态,粒子的y坐标为y1。现给P沿y轴一微小扰动,试证明以后的运动为简谐运动,并求此简谐运动的周期。
4.已知质量为m的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2,先设想把P放在坐标y3处,然后由静止开始释放P,求释放后P能够到达玻璃管底部的所有可能的y3。(只要列出y3满足的关系式,不需要求解)
六、(本题20分)
透明球体置于n0=1的空气中,其球心位于图中光轴的O处,左右球面与光轴的交点为O1与O2,球体右半球面为一球面反射镜,组成球形反射器。光轴上O1左侧有一发光物点P,P到球面顶点O1的距离为s,由P发出的光线满足傍轴条件。不考虑其他球面上的反射。 1.问发光物点P经此反射器后,最后的像点位于何处?
2.当P沿光轴方向以大小为v的速度由左向右移动时,试问最后的像点将以怎样的速度运动?并说明当玻璃折射率n股取何值时,像点亦作匀速运动。
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第24届全国中学生物理竞赛决赛试卷
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