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“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

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1xa??x?1xx2b?x,量 = a :x.水杯的重心位置为,水的重心位置为,水面位置为,于是222bba?xb解得x?a2?ab?a 13.已知函数f(x)?2x121,f(1)?1,f()?.令x1?,xn?1?f(xn). ax?b232

(I)求数列{xn}的通项公式;

1. 2e122x解 由f(1)?1,f()?得a?b?1,f(x)?

23x?1(II)证明x1x2?xn?1?12482n?1(I)方法一:先求出x1?,x2?,x3?,x4?,猜想xn?n?1.用数学归纳法证明.当n =

23592?12k?11显然成立;假设n = k成立,即xk?k?1,则

2?12xk2k,得证. xk?1?f(xk)??xk?12k?1方法二:xn?1?2xn111 取倒数后整理得?1?(?1),所以

xn?12xnxn?11111 ?1?()n?1(?1) 所以x?1xn2x1?12n?1(II)方法一:证明

11111?2e.事实上,?2(1?)(1?)?(1?n).

x1x2?xn?1242x1x2?xn?12n2n我们注意到1?2a?(1?a),(贝努利(Bernoulli)不等式的一般形式: ?,1?2a?(1?a),

(1?x)n?1?nx,x?(?1,??))

于是

11n?11n1n?2(1?n)2???2?1?2(1?n)2?1?2(1?n)2?2e

x1x2?xn?122211)?(1?)?e 222n111?ln[(1?)(1?2)?(1?n)]?1

222111?ln(1?)?ln(1?2)???ln(1?n)?1

2221?x)?x(x?0) 构造函数g(x)?ln(1?xg?(x)??1??0,所以g(x)?g(0)?0

1?x1?x所以ln(1?x)?x(x?0)

12方法二:原不等式?(1?)(1?令x?111ln(1?)? 则

2n2n2n1111111ln(1?)?ln(1?2)???ln(1?n)??2???n?1?n?1

2222222x2y214.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0),F1,F2分别为C的左右焦点.P为C右支上一点,且使

ab?F1PF2=?3,又?F1PF2的面积为33a2.

(I)求C的离心率e ;

(II)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数λ(λ>0),使得

?QF2A???QAF2恒成立.若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

解:(I)如图,利用双曲线的定义,将原题转化为:在ΔP F1 F2中, ?F1PF2=,?F1PF2的面积为33a2,E为PF1上一点,PE = PF2,E F1 =2a,F1 F2 = 32c,求?c3.设PE = PF2 = EF2 = x,F F2 = x, a2S?F1PF2?113PF1?FF2?(x?2a)x?33a2 ,x2?4ax?12a2?0,x?2a. 2222?,于是3P F E 2a F1 P 2c x F2ΔE F1 F2为等腰三角形,?EF1F2?2c?23a,e?1(II) ?? 2此解法可能有误 c?3. a15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以pn表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p1,p2,p3,p4;

(II)探究数列{ pn}的递推公式,并给出证明;

(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.

分析与解:

17?;又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有:正正正正或88313?正正正反或反正正正,故p4?1?. 16161(II)共分三种情况:①如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面的概率?Pn?1;②如

2(I)显然p1=p2=1,p3?1?果第n次出现正面,第n-1次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n-2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是

1?Pn?2;③如果第n次出现正面,4第n-1次出现正面,第n-2次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n-3次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是?Pn?3.

18111?Pn?1??Pn?2??Pn?3.(n?4),④ 248111(III)由(II)知Pn?1??Pn?2??Pn?3??Pn?4,(n?5)⑤,

24811

?Pn?4(n?5) ④-×⑤,有Pn?Pn?1?216所以n?5时,pn的单调递减,又易见p1=p2>p3>p4>….

综上,Pn?n?3时,pn的单调递减,且显然有下界0,所以pn的极限存在.对Pn?Pn?1?取极限可得limpn?0.

n???1?Pn?4两边同时16其统计意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面向上的次数非常少,两者比值趋近于零.

2012年“华约”自主招生试题解析

2012年自主招生华约联考数学试题解答(前4题)

“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

1xa??x?1xx2b?x,量=a:x.水杯的重心位置为,水的重心位置为,水面位置为,于是222bba?xb解得x?a2?ab?a13.已知函数f(x)?2x121,f(1)?1,f()?.令x1?,xn?1?f(xn).ax?b232(I)求数列{xn}的通项公式;1.2e122x解由f(1)?1,f()?得a?b?1,f(x)?
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