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“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

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2011年“华约”自主招生试题解析

一、选择题

15|?则|z| = ( ) z24321A????????B????????C????????D? 543215512解:由|z?|?得|z|?1?|z|,已经转化为一个实数的方程.解得|z| =2(舍去),?.

z2221.设复数z满足|z|<1且|z?2.在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切为2.则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )

1111A????????B????????C????????D? 36812[分析]本题有许多条件,可以用“求解法”,即假设题中的一部分要素为已知,利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知(不妨设为2),利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.

z P P M D O N M C y B A D N Q C A x B 解法一:如图1,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.如图建立坐标系,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),则

?????312????112112132M(,?,),N(,,),DM?(,?,),AN?(?,,).设所成的角为θ,则

222222222222?????????DM?AN1cos????????????.

DMAN6解法二:如图2,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.平移DM与AN在一起.即M移到N,D移到CD的中点Q.于是QN = DM = AN.而PA = PB = AB = 2,

所以QN = AN = 3,而AQ = 5,容易算出等腰ΔAQN的顶角cos?ANQ?1. 6解法三:也可以平移AN与DM在一起.即A移到M,N移到PN的中点Q.以下略.

3.已知y?x3?x2?2x?1,过点(-1, 1)的直线l与该函数图象相切,且(-1, 1)不是切点,则直线l的斜率为 ( )

A?2??????B1???????C??1???????D??2

32解:显然(-1, 1)在y?x3?x2?2x?1的图象上.设切点为(x0,x0?x0?2x0?1), 2y??3x2?2x?2,所以k?3x0?2x0?2.另一方面,

32(x0?x0?2x0?1)?12?x0(x0?2)?3x0k??2x0?2.所以x0=1,所以k??1.选C.

x0?(?1)4.若A?B?2?,则cos2A?cos2B的最小值和最大值分别为 ( ) 3A1??33133312 ?,?????B?,??????C1??,1????????D?,1?2222222222[分析]首先尽可能化简结论中的表达式cosA?cosB,沿着两个方向:①降次:把三角函数的平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个. 解:cosA?cosB?221?cos2A1?cos2B1??1?(cos2A?cos2B) 2221?1?cos(A?B)cos(A?B)?1?cos(A?B),可见答案是B

2

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱.我们来转化一下,就可以去掉三个圆,已知条件变为:ΔO O1 O2边O1 O2上一点C,O O1、O O2延长线上分别一点A、B,使得O1A = O1C,O2B = O2C.

解法一:连接O1O2,C在O1O2上,则?OOO12??OO2O1????,

11?O1AC??O1CA??OO1O2,?O2BC??O2CB??OO2O1,故

221????O1CA??O2CB?(?OO1O2??OO2O1)?,

22????(?O1CA??O2CB)????2,sin??cos?2.

解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在本题中假设两个小圆的半径相等,则?OO1O2??OO2O1????2,

?O1CA??O2CB?sin??cos1???????OO1O2?,????(?O1CA??O2CB)?, 242?2.

6.已知异面直线a,b成60°角.A为空间一点则过A与a,b都成45°角的平面 ( )

A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个

[分析]已知平面过A,再知道它的方向,就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向,我们考虑它的法线,并且假设a,b为相交直线也没关系.于是原题简化为:已知两条相交直线a,b成60°角,求空间中过交点与a,b都成45°角的直线.答案是4个.

???31?31??7.已知向量a?(0,1),b?(?,?),c?(,?),xa?yb?zc?(1,1)则x2?y2?z2 的最小

2222值为( )

43A1????????B????????C????????D?2

32?3?33?y?z?1?(y?z)?1??????2?22解:由xa?yb?zc?(1,1)得? , ??x?y?z?1?x?y?z?1???22?2(y?z)2?(y?z)2由于x?y?z?x?,

222222?y?z???可以用换元法的思想,看成关于x,y + z,y-z三个变量,变形?3,代入

?y?z?2(x?1)?(y?z)2?(y?z)2x?y?z?x?

22222?x2?2(x?1)2?2824?3x2?4x??3(x?)2?,答案B 3333?8.AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且?OFA?135,C为抛物线准线与x轴的交点,则?ACB的正切值为 ( )

A?22???????B?424222???????C????????D? 533解法一:焦点F(1,0),C(-1,0),AB方程y = x – 1,与抛物线方程y2 = 4x联立,解得

A????22???22)?,???B?????22???22)?,于是

kCA?k?kCB??222??222,tan?ACB?CA?22,答案A =,kCB?=-1?kk22??22??22CACB解法二:如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:在直角梯形ABCD中,∠BAD = 45°,EF∥DA,

EF = 2,AF = AD,BF = BC,求∠AEB.

G D A tan?AEF?tan?EAD?DEGF2.类似的,有 ??ADAF2E F tan?BEF?tan?EBC?22C B ?AEB??AEF??BEF?2?AEF,

tan?AEB?tan2?AEF?22,答案A

解:S?BDF?DFBDS?BDE?zS?BDE,S?BDE?S?ABE?(1?x)S?ABE, DEABS?ABE?AES?ABC?yS?ABC,于是S?BDF?(1?x)yzS?ABC?2(1?x)yz. ACx?1,2将y?z?x?1,变形为y?z?x?1,暂时将x看成常数,欲使yz取得最大值必须y?z?于是S?BDF?1116(1?x)(x?1)2,解这个一元函数的极值问题,x?时取极大值. 232710.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形,这些对角线在正11边形内两两不相交,则( )

A. 存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B. 存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C. 存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形

解:我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图,假设ΔABC是锐角三角形,我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角.事实上,∠D ≥ ∠ADC,而四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠ADC = 180°-∠B,所以∠D为钝角.这样就排除了B,C.

A E A B D C F B D C

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形. 假设ΔABC中∠B是钝角,在AC的另一侧一定还有其他顶点,我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ΔACD,则∠D = 180°-∠B是锐角,这时如果或是钝角,我们用同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D. 二、解答题

解:(I)tanC??tan(A?B)?tanA?tanB,整理得

tanAtanB?1tanAtanBtanC?tanA?tanB?tanC

(II)由已知3tanAtanC?tanA?tanB?tanC,与(I)比较知tanB?3,B=?3.又,

11224????sin2Asin2Csin2Bsin2?33,

sin2A?sin2C4?sin2Asin2C3sin(A?C)cos(A?C)13?,而sin(A?C)?sinB?,

cos2(A?C)?cos2(A?C)23cos2(A?C)?cos2B??21,代入得2cos2(A?C)?1?3cos(A?C), 2? 4cos(A?C)?3cos(A?C)?1?0,cos(A?C)?1,1A?C6,cos?1, 42412.已知圆柱形水杯质量为a克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直

立放置).质量为b克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处. (I)若b = 3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么? 解:不妨设水杯高为1.

(I)这时,水杯质量 :水的质量 = 2 :3.水杯的重心位置(我们用位置指到水杯底面的距离)

112??3?114?7 为,水的重心位置为,所以装入半杯水的水杯的重心位置为2242?320(II) 当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上.设装x克水.这时,水杯质量 :水的质

“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

2011年“华约”自主招生试题解析一、选择题15|?则|z|=()z24321A????????B????????C????????D?543215512解:由|z?|?得|z|?1?|z|,已经转化为一个实数的方程.解得|z|=2(舍去),?.z2221.设复数z满足|z|<1且|z?2.在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为
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