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第十章 重积分
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质 1．二重积分的概念 （1）定义
设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域
其中
表示第i个小闭区域，也表示它的面积．在每个
上任取一点
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值A→0时，这和的极限总存在，且与闭区域D的分法及点
的取法无关，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作，即
其中ｆ（x，y）称为被积函数，f（x，y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x与y称为积分变量，D称为积分区域，
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，作乘积
称为积分和．
www.100xuexi.com （2）几何意义 ①当f（x，y）≥0时，曲顶柱体的体积；
②当f（x，y）＜0时，y）为顶的曲顶柱体的体积；
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 等于以D为底，以曲面z＝f（x，y）为顶的
的绝对值等于以D为底，以曲面z＝f（x，
③当f（x，y）在D上有正有负时，去xOy面下方的柱体体积所得之差．
2．二重积分的性质 （
1
）
设
α
与
β
等于xOy面上方的柱体体积减
为常数，；
则
（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和；
（3）如果在D上，f（x，y）＝1，σ为D的面积，则
；
（4）如果在D上，（fx，y）≤g（x，y），则有特殊地，由于
．
，则
-f?x，y??f?x，y??f?x，y???f?x，y?d????f?x，y?d?DD（5）设M和m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有
；
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 （6）（二重积分的中值定理）设函数f（x，y）在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点
二、二重积分的计算法 1．利用直角坐标计算二重积分 （1）X型区域 设积分区域D用不等式其中函数
在区间[a，b]上连续．
来表示（图10-1-1），
，使得
．
图10-1-1
计算步骤： ①求截面面积
过区间[a，b]上任一点x且平行于 yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
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www.100xuexi.com ②求立体体积
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为
该体积为所求二重积分的值，有等式
这就是把二重积分化为先对y，后对x的二次积分的公式．上面公式也可以写成
??f(x,y)d???Dbadx??2?x??1?x?f?x,y?dy
（2）Y型区域 设积分区域D用不等式其中函数
、
在区间[c，d]上连续，则
这就是把二重积分化为先对x，后对y的二次积分的公式．上面公式也可以写成
来表示（图10-1-2），
??f(x,y)d???Ddcdy??2?y??1?y?f?x,y?dx
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图10-1-2
注：积分区域D既不是X型区域，又不是Y型区域时，可以把D分成几部分，使每个部分是X型区域或Y型区域．
2．利用极坐标计算二重积分 设积分区域D可以用不等式
来表示（图
10-1-3），其中函数φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为
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