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第十章 重积分
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质 1.二重积分的概念 (1)定义
设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域
其中
表示第i个小闭区域,也表示它的面积.在每个
上任取一点
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值A→0时,这和的极限总存在,且与闭区域D的分法及点
的取法无关,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即
其中f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,dσ称为面积元素,x与y称为积分变量,D称为积分区域,
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,作乘积
称为积分和.
www.100xuexi.com (2)几何意义 ①当f(x,y)≥0时,曲顶柱体的体积;
②当f(x,y)<0时,y)为顶的曲顶柱体的体积;
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的
的绝对值等于以D为底,以曲面z=f(x,
③当f(x,y)在D上有正有负时,去xOy面下方的柱体体积所得之差.
2.二重积分的性质 (
1
)
设
α
与
β
等于xOy面上方的柱体体积减
为常数,;
则
(2)如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和;
(3)如果在D上,f(x,y)=1,σ为D的面积,则
;
(4)如果在D上,(fx,y)≤g(x,y),则有特殊地,由于
.
,则
-f?x,y??f?x,y??f?x,y???f?x,y?d????f?x,y?d?DD(5)设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,σ是D的面积,则有
;
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 (6)(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ是D的面积,则在D上至少存在一点
二、二重积分的计算法 1.利用直角坐标计算二重积分 (1)X型区域 设积分区域D用不等式其中函数
在区间[a,b]上连续.
来表示(图10-1-1),
,使得
.
图10-1-1
计算步骤: ①求截面面积
过区间[a,b]上任一点x且平行于 yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
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www.100xuexi.com ②求立体体积
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体体积为
该体积为所求二重积分的值,有等式
这就是把二重积分化为先对y,后对x的二次积分的公式.上面公式也可以写成
??f(x,y)d???Dbadx??2?x??1?x?f?x,y?dy
(2)Y型区域 设积分区域D用不等式其中函数
、
在区间[c,d]上连续,则
这就是把二重积分化为先对x,后对y的二次积分的公式.上面公式也可以写成
来表示(图10-1-2),
??f(x,y)d???Ddcdy??2?y??1?y?f?x,y?dx
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图10-1-2
注:积分区域D既不是X型区域,又不是Y型区域时,可以把D分成几部分,使每个部分是X型区域或Y型区域.
2.利用极坐标计算二重积分 设积分区域D可以用不等式
来表示(图
10-1-3),其中函数φ1(θ)、φ2(θ)在区间[α,β]上连续,则极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为
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同济大学数学系《高等数学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(重积分)【圣才出品】
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