所以设
是平面
又∴
平面
，，，
一个法向量，则
取
，∴
，得是平面
的一个法向量，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中
线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布
数
据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（个监测站点，以9个站点测得的（Ⅰ）若某日播报的度污染区
），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2
的平均值为依据，播报我市的空气质量.
的平均值为74，中度污染区
的平均值为114，求重
为118，已知轻度污染区
的平均值；
的分布，11月份仅有一天
在天数 3 4 4 内.
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中组数 第一组 第二组 第三组 分组 第四组 6 第五组 第六组 第七组 第八组
5 4 3 1 ①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行
社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到【答案】（Ⅰ）172（Ⅱ）①②见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值； （Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；
②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】（Ⅰ）设重度污染区即重度污染区
的平均值为，则
，解得
.
不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.
平均值为172.
在
内的天数为1，
小于180的天数为
，
（Ⅱ）①由题意知，由图可知，又
在
内的天数为17天，故11月份
，则该学校去进行社会实践活动的概率为.
②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
，
，，
则的分布列为 数学期望
.
0 1 2 3 【点睛】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题． 20.设点为圆（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的左顶点为，若直线
与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足
上的动点，点在轴上的投影为，动点满足
，动点的轨迹为.
，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； （2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证． 【详解】（Ⅰ）设点∵即
，
，∴
上 ∴
，设
，
，
，由题意可知
，
（Ⅱ）
又点在圆代入得
即轨迹的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知联立
得
即
，
∴
又∵即∴∴解得当当
，
∴
即
，且均满足即 ，直线恒过，直线恒过.
，与已知矛盾；
时，的方程为，的方程为
所以，直线过定点，定点坐标为
【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，注意向量条件的转化，考查了运算能力，难度较大． 21.已知函数（Ⅰ）当
时，
.
取得极值，求的值并判断
，且
.
是极大值点还是极小值点； 时，总有
成立，求的取值范围.
（Ⅱ）当函数【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
有两个极值点，，
为极大值点（Ⅱ）
（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可； （Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为
[2lnx1
]＞0，根据0＜x1＜1时，
0.1＜x1＜2时，
0．即h（x）＝2lnx即可． 【详解】（Ⅰ）从而
时，
（Ⅱ）函数，
，
，所以
（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围
，，则时，
，
为增函数；
为减函数，所以为极大值点.
的定义域为，则
，有两个极值点
在
上有两个不等的正实根，所以
，
由可得
从而问题转化为在，且时成立.
即证成立.
即证 即证
亦即证 . ①
令1)当2)当若
时，时，，即、
时，
在区间，则
则在
上为增函数且
，①式在
上不成立.
，所以及
在上为减函数且，
上同号，故①式成立.
若令
，即
，则
时，
时，
的对称轴，不合题意.
，
河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月）质量预测数学理试题
