又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
x2y2
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
43
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． y＝k?x－1?，??22由?xy得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， ??4＋3＝1，4k2－128k2
则x1＋x2＝2，x1x2＝2. 4k＋34k＋312?k2＋1?
所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝. 4k2＋3
2
12
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到直线m的距离为2，
kk＋1
4k2＋3
. k2＋1
所以|PQ|＝4
1
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|
2
11＋2. 4k＋3
＝12可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)． 题型三 圆锥曲线中的存在性问题 【题型要点】
解决探索性问题的注意事项
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则
6
不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． x2y21?3?【例3】已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P?1,?，F为其右焦点．
ab2?2?(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(4,0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
c1
【解】 (1)因为＝，所以a＝2c，b＝3c，
a2
x2y213?3?设椭圆方程2＋2＝1，又点P?1,?在椭圆上，所以2＋2＝1，解得c2＝1，a2＝4，
4c3c4c4c?2?x2y2
b＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
43
2
(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－4)，
y＝k?x－4?，??22由?xy消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，由题意知Δ＝(32k2)2－4(3??4＋3＝1，11＋4k2)(64k2－12)>0，解得－ 32k2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，① 3＋4k264k2－12x1x2＝.② 3＋4k2因为△AMF与△MFN的面积相等， 所以|AM|＝|MN|，所以2x1＝x2＋4.③ 7 4＋16k2 由①③消去x2得x1＝.④ 3＋4k264k2－12 将x2＝2x1－4代入②，得x1(2x1－4)＝⑤ 3＋4k2将④代入到⑤式，整理化简得36k2＝5. 5 ∴k＝±，经检验满足题设 6 55 (x－4)或y＝－(x－4)． 66 故直线l的方程为y＝ 题组训练三 圆锥曲线中的存在性问题 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)D是抛物线C上的动点，点E(－1,3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值； →→→→ (2)是否存在实数p，使|2QA＋QB|＝|2QA－QB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由． 【解】 (1)∵直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0,2)， ∴F(0,2)，则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y＝－2. 设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值2＋3＝5. (2)假设存在，抛物线x2＝2py与直线y＝2x＋2联立方程组得：x2－4px－4p＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝(4p)2＋16p＝16(p2＋p)>0，则x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p， ∴Q(2p,2p)． →→→→∵|2QA＋QB|＝|2QA－QB|， ∴QA⊥QB. →→则QA·QB＝0，得(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p) 8 ＝(x1－2p)(x2－2p)＋(2x1＋2－2p)(2x2＋2－2p) ＝5x1x2＋(4－6p)(x1＋x2)＋8p2－8p＋4＝0， 1 代入得4p2＋3p－1＝0，解得p＝或p＝－1(舍去)． 4 1→→→→ 因此存在实数p＝，且满足Δ>0，使得|2QA＋QB|＝|2QA－QB|成立． 4 题型四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题 【题型要点】 求解圆锥曲线中的最值问题，主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．求最值方法有： (1)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． (2)通过代换、拆项、凑项等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件． 【例4】 已知P为圆A：(x＋1)2＋y2＝12上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点T，记点T的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程； (2)设M，N是Γ上的两个动点，MN的中点H在圆x2＋y2＝1上，求原点到MN距离的最小值． 【解析】 (1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于23. 由已知|TB|＝|TP|，于是|TA|＋|TB|＝|TA|＋|TP|＝23，故曲线Γ是以A，B为焦点，以23为长轴长的椭圆，a＝3，c＝1，b＝2， x2y2 曲线Γ的方程为＋＝1； 32 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)， 将M(x1，y1)，N(x2，y2)， 9 ?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2? 代入作差得＋＝0 32①x1＝x2时，y1＋y2＝0，所以H(x0,0)， 因为H在圆x2＋y2＝1上， 所以x0＝±1，则原点O到直线MN的距离为1； 2 ②x1≠x2时，设直线MN的斜率k，则2x0＋3ky0＝0，且x20＋y0＝1， 所以 x20＝9k24 ，y2， 20＝29k＋49k＋4 －6k3 所以x0y0＝－ky2. 0＝229k＋4 设原点O到直线MN距离为d，因为MN的方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0 k2 ＝0，所以d＝1－4， 9k＋13k2＋4 2 k＝0时，d2＝1； 1124 k≠0时，d2＝1－≥1－＝. 42525 9k2＋13＋2k 2424266因为<1，所以d2的最小值为，即d的最小值为，此时k＝±， 25255326由①②知，原点O到直线MN的最小值为. 5 题组训练四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题 x2y23平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y ab2的焦点F是C的一个顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于 不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. ①求证：点M在定直线上； 10
2020年高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题（解析版）
