2020年高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与
存在性问题
题型一 圆锥曲线中的定点、定值问题 【题型要点】
圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量，那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．解决这类问题的一般思路是：
(1)引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等． (2)根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
(3)求解定点、定值问题，如果事先不知道定点、定值，可以先对参数取特殊值，通过特殊情况求出这个定点、定值，然后再对一般情况进行证明．
x2y22?a?
【例1】已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点Q?b,?在椭圆上，O为坐
ab2?b?标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．
22x2y22c2a－b12
(1)【解】 ∵椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，∴e＝2＝2＝，得a2＝2b2①
ab2aa2
b2a2?a?
又点Q?b,?在椭圆C上，∴2＋4＝1，②
ab?b?联立①、②得a2＝8，且b2＝4. x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
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(2)【证明】 当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为x＝2或x＝－2， 从而有|PN|＝23，
1
11
所以S＝|PN|·|OM|＝×23×22＝26；
22
当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)， 将PN的方程代入椭圆C的方程，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， －4km2m2－8
所以x1＋x2＝，x·x＝，
1＋2k2121＋2k22m??4km2m?→→→
,y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝ 2，由OM＝OP＋ON，得M?22?1＋2k?1?2k1?2k?将M点坐标代入椭圆C方程得m2＝1＋2k2. 又点O到直线PN的距离为d＝
|m|
， 1＋k2|PN|＝1＋k2|x1－x2|， ∴S＝d·|PN|＝|m|·|x1－x2|
22＝1＋2k·?x1＋x2?－4x1x2＝
48k2＋24
＝26.
2k2＋1
综上，平行四边形OPMN的面积S为定值26. 题组训练一 圆锥曲线中的定点、定值问题 x2y2
已知椭圆C：2＋2＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
ab(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【解析】 (1)由题意得a＝2，b＝1， x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1.
4
c3
又c＝a2－b2＝3，∴离心率e＝＝.
a2
2
2
(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x20＋4y0＝4.
又A(2,0)，B(0,1)，
y0∴直线PA的方程为y＝(x－2)．
x0－22y0令x＝0，得yM＝－，
x0－22y0从而|BM|＝1－yM＝1＋.
x0－2y0－1
直线PB的方程为y＝x＋1.
x0x0令y＝0，得xN＝－，
y0－1x0从而|AN|＝2－xN＝2＋.
y0－1
1
∴四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|
2
x0??2y0?1????2??1?＝? ???2?y0?1??x0?2??2
x0＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4＝ 2?x0y0－x0－2y0＋2?
＝
2x0y0－2x0－4y0＋4
＝2.
x0y0－x0－2y0＋2
从而四边形ABNM的面积为定值．
题型二 圆锥曲线中的范围问题 【题型要点】
与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
3
2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． 3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
【例2】设圆F1：x2＋y2＋4x＝0的圆心为F1，直线l过点F2(2,0)且不与x轴、y轴垂直，且与圆F1相交于两点C、D，过F2作F1C的平行线交直线F1D于点E.
(1)证明||EF1|－|EF2||为定值，并写出点的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹曲线与直线l交于M，N两点，过F2且与垂直的直线与圆F1交于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．
【解析】 (1)圆F1：(x＋2)2＋y2＝4，圆心F1(－2,0)，半径r＝2，如图所示． 因为F1C∥EF2，所以∠F1CD＝∠EF2D. 又因为|F1D|＝|F1C|，所以∠F1CD＝∠F1DC，
所以∠EF2D＝∠F1DC，又因为∠F1DC＝∠EDF2，所以∠EF2D＝∠EDF2，故ED＝EF2，
可得||EF1|－|EF2||＝||EF1|－|ED|| ＝2<|F1F2|，
根据双曲线的定义，可知点E的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(顶点除外)，易得点Ey2
的轨迹方程为x－＝1(y≠0)．
3
2
y2
(2)Γ：x－＝1(y≠0)．
3
2
依题意可设l：x＝my＋2(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于PQ⊥l，设lPQ：y＝－m(x－2)．
|－m?－2－2?||4m|
圆心F1(－2,0)到直线PQ的距离d＝＝，
1＋m21＋m241－3m2所以|PQ|＝2r－d＝，
1＋m2221
又因为d<2，解得0 4 y??x2－3＝1 联立直线与双曲线的方程?， ??x＝my＋2消去得(3m2－1)＋12my＋9＝0， 12m9 则y1＋y2＝－2，y1y2＝2， 3m－13m－1所以|MN|＝1＋m2|y2－y1| ＝1＋m 22 6?m2＋1??y1＋y2?－4y1y2＝， 1－3m22记△PQM，△PQN的面积分别为S1，S2， 12m2＋11 则S1＋S2＝|MN|·|PQ|＝ 21－3m21 ＝12 ， 4 －3＋2m＋1 1 又因为0 3所以S1＋S2的取值范围为(12，＋∞)． 题组训练二 圆锥曲线中的范围问题 设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【解析】 (1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|， 5
2020年高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题（解析版）
