第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理
1. 设X是赋范线性空间，x1,x2,向量，?1,?2,,xk是X中K个线性无关
,?k是一组数，证明：在X上存在满足下
,k, (2) f?M 的线
列两条件：（1）f(xv)??v,v?1,2,性连续泛函f的充要条件为：对任何数t1,t2,,tk，
?t?vv?1kv?M?txv?1kvv
都成立。
证明 必要性。若线性连续泛函f满足（1）和（2），则
?t?vv?1kv?f(?tvxv)?fv?1k?txv?1kkvv?M?txv?1kvv
充分性。若对任意数t1,t2,,tk，有
?t?vv?1kv?M?txv?1vv。
令X0为x1,x2,,xk张成的线性子空间。对任意
?txv?1kvv?X0，定义上线性泛函：
f0:f0(?tvxv)??tv?v。
v?1v?1kkk因f0(?tvxv)??tv?v?Mv?1v?1kk?tx，故f0是有界的，且
vvv?1f0?M。
由泛函延拓定理，存在X上的线性连续泛函f，使f限制在X0上就是f0。f显然满足条件（1）和（2）。证毕。
2．设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，x0?X，
'd(x,Z)?0f?X又，证明存在，满足条件： 0 1）当x?Z时，f(x)?0； 2）f(x0)?d(x0,Z) ； 3）f?1 。
??证明 记M?{?x0?yC,?y。在}ZM上定义泛函f0：
f0(?x0?y)??d(x0,Z)，则以下三条件成立： 1）当y?Z时，f0(y)?0； 2）f(x0)?d(x0,Z)； 3）f0在M上有界，且f0M?1。
其中3）可以这样证明：若?x0?y?M，则
f0(?x0?y)??d(x0,Z)??x0?y???x0?y，
所以f0M?1。
又对任意y?Z，f0(x0)?f0(x0?y)?f0x0?y。由y的任意性，我们得到
f0(x0)?f0d(x0,Z)。
又f0(x0)?d(x0,Z)，这样我们就证明了f0?M?1。
3． 证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的。 证明 设?xn?是X中一列线性无关向量。记
n?1Mn?span{x1,x2,?xn},n?1,2,.。
因?xn?n?1是线性无关的。xn?1?Mn，因此由习题2，存在
fn?X'，使fn?1,fn(xn)?d(xn,Mn?1)?0, fn在Mn?1为零,
n?1,2,Ki,i?1,2,.
?n?1以下我们来证明?fn?是X'中线性无关的向量.事实上,若有
n.使. K1f1?K2f2??Knfn?0,则.
K1f1(x1)?K2f2(x1)?这样由于fi(x1)?0,i?2,?Knfn(x1)?0
n。
?n?1n，必有K1f1(x1)?0,因f1(x1)?0,
i?1,2,所以K1?0。类似可证, Kifi(xi)?0，从而Ki?0，
这样我们证明了X'中有无限多个线性无关的向量?fn?,因此X'是无限维的.证毕.
'X4. 证明Bananch空间X自反的充要条件是自反.
证明 若X是banach空间,则存在一个从X到X\的自然的等距同构映射, JX:X?X\.若JX(X)?X\,则称X是自反的。其中JX是这样定义的, 若x?X,f?X?,J(x)(f)?f(x).
X'到X\的为方便起见,记X到X\的自然的等距同构映射为J0，
自然的等距同构映射为J1。
我们要证明J0(X)?X\的充要条件为J1(X)?X\. 若J0(X)?X\.对任意F?X\,定义f?X'：若
x?X，
f(x)?F(J0(x))。对任意
x?X，
(J1f)(J0x)?J0(x)(f)?f(x)?F(J0(x))。因J0(X)?X\,因此
J1f?F。这就证明了J1(X)?X\。
反之,若J1(X)?X\,而J0(X)?X\。则存在F?X\,使F在J0(X)上恒为零，而F?1。但J1(X)?X\。必有
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析
