辗转相除法和更相减损术教学案例

辗转相除法和更相减损术教学案例

怀仁一中 刘玉宏 背景：

这是我校“三三五”课堂教学大赛的一堂预赛课。首先先说说什么是335课堂教学模式， “335”课堂模式可以概括为：目标引领三步骤，学案导学三功能，学习行为五体验。 第一个“三”指的是目标引领的三个步骤：1、出示学习目标； 2、围绕目标教学； 3、当堂目标检测；出示学习目标，为的是让学生明确本节课我们必须掌握的内容， 围绕目标让学生主动合作探究，当堂目标检测为的是检测学生对知识的理解程度，无论是老师还是学生都做到心中有数。

第二个“三”指的是学案导学的三种功能：1、导读； 2、导思； 3、导练；

在“导读”环节中，设定任务和方法指导，让学生在自主学习中有了明确的方向，在导思部分，学案以有坡度的问题串形式引导学生自主学习，在“导练”过程中，将本节知识的易错点、易混点、易漏点、重难点隐含在习题中，让学生进行辨析、理解，通过导练巩固所学内容，发现不足之处。

“五”、指的是课堂学生学习行为中的五种体验：

1、学生自己观察；2、学生自己思考；3、学生自己动手；4、学生自己表述；5、学生自己总结；

教材内容分析：

本节教材选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节 与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。

本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。 学生学习情况分析：

学生已经学习了有关算法和框图的基础知识。绝大多数同学对算法和框图的学习 有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 设计思想：

以教师为主导、学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究

式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。具体流程如下：

任务分配（结合学案、课前预习）→创设情景（课前准备、引入实例）→授新设疑（自主探索形成概念→理解概念能识别框图）→质疑问难、论争辩难（进一步加深对概念的理解→突破难点）→沟通发展（反馈练习→归纳小结）→布置作业。

授课过程： 复习引入：

师： 前面我们学习了算法步骤，程序框图和算法语句，今天我们将通过辗转相除法和更相减损术来进一步体会算法的思路，（使用ppt显示课题）它的作用是用来求两数的公约数的。先请一位同学简单介绍一下辗转相除法和更相减损术。

生：辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。“更相减损术”是我国古代求最大公约数的方法，反映了我国古代劳动人民的伟大智慧，让我们感到无比的光荣与自豪.

师：他说的非常好。看一下我们这一节的学习目标、重点和难点：（使用ppt显示） 学习目标： ①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理； ②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；

说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。 （2）能力目标： ①培养自己把具体问题抽象转化为算法语言的能力； ②培养自主探索和合作学习的能力。 （3）情感目标： ①使自己进一步了解从具体到一般思想方法。 ②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。 重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。（体会算法解决问题的全过程）

难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；

师：下面请各个小组组长检查一下组员预习情况并作汇报：（各小组一一汇报预习情况良好）根据各小组课前分配任务，给15分钟的时间各小组统一一下意见，然后选代表上黑板展示或准备用投影仪展示。

导思1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？（小组1任务）

导思2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？（小组1任务）

导思3:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数

相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？（小组2任务） 导思4:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ （小组2任务）

导思5:该算法的程序框图如何表示？（小组3任务） 导思6:该程序框图对应的程序如何表述？（小组3任务）

导思7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？（小组4任务）

小组展示：组1答案：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数. （短除法）

（生1导思2理由没有讲清，生2给予补充说明。师及时给出合理点评）

组2答案：8251=6105×1+2146， 答案：第一步，给定两个正整数m，n(m>n). 6105=2146×2+1813， 第二步，计算m除以n所得的余数r. 2146=1813×1+333， 第三步，m=n，n=r.

1813=333×5+148， 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等 于m；否则，返回 第二 步. 333=148×2+37， 148=37×4+0.

组3答案： 开始 答案： INPUT m，n DO 输入 m ， n r=m MODn m=n n=r 求 m 除以 n 的余数 r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END m=n r=0？ 否 是 输出m 结束 开始

输入m，n 组4答案： INPUT m，n WHILE n>0 r=m MODn n=r m=n n=r 求m除以n的余数r WEND PRINT m n>0？ 是 END 否 输出m

结束 师：请4组一位同学给电脑输入程序语言，验证一下8251与6105这两个数的最大公约数。(学生很快验出答案是正确的）

导思8:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？（小组5任务）

导思9:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？（小组5任务）

导思10:该算法的程序框图如何表示？（小组6任务） 导思11:该程序框图对应的程序如何表述？（小组6任务） 组5答案：98-63=35，答案：第一步，给定两个正整数m，n(m>n) 63-35=28， 第二步，计算m-n所得的差k.

35-28=7， 第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者 28-7=21， 用n表示.

21-7=14， 第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m；否则， 14-7=7. 返回第二步.

小组6答案：

开始 INPUT m，n WHILE m<>n 输入m，n k=m-n 否 IFTHEN n>k m≠n ？ m=n 是 n=k m=k k=m-n ELSE 否 输出 m m=k n>k ？ END IF 是 WEND m=n 结束 PRINT mEND n=k 导练： 例1 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数. （小组7任务） 组7展示：辗转相除法：168=93×1+75，93=75×1+18， 75=18×4+3，18=3×6. 更相减损术:168-93=75，93-75=18， 75-18=57，57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15，15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3 例2 求325，130，270三个数的最大公约数. （小组7任务） 因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130的最大公约数是65. 因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65与270最大公约数是5. 故325，130，270三个数的最大公约数是5. 师：下面请一位同学做课堂小结：

生：本节课我们学习了辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数. 更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数. 并能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法、更相减损术。对于学习小组1、2、5、8组表现较好。代表展示讲解思路清晰、声音洪亮。而某某在展示时书写凌乱有待提高。

点评：整堂课上的有声有色，非常顺利。也做到将课堂还给学生。因为是预赛课，教

师和学生都做了充分的准备，所以学生根据学案预习到位。但也就缺少了真正课堂的设疑答疑过程。如何能把课堂真正还给学生，1、把课前课堂时间和空间还给学生。2、课堂上教师要注意倾听。3、课堂上要多鼓励学生，鼓励学生思维的发散；鼓励学生对教师的答案和说法提出异议；鼓励学生各抒己见来阐明自己的观点；鼓励学生在知识上反驳教师，只有如此学生的思维才能变得越来越开阔、多元、敏捷。把课堂还给学生，不仅仅是一句口号，要真正落实到教学中，给学生充足的时间，让学生去动手、动脑、动口，自主学习，自主探索，相信学生会给我们带来惊喜??。