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=21?lnx 12．
e12=2(3-1)
?π20xcos2xdx
212111xcos2xdx=xsin2x-?2sin2xdx =cos2x=-
2420240????解：13．
?20?e?10ln(x?1)dx
e?10?e?1ln(x?1)dx?xln(x?1)??e?1e?1x1dx =e?1??(1?)dx
00x?10=e-1-[x-ln(x+1)]e-10＝lne=1
四、代数计算题
?1?1．设矩阵A??10???121??,B??1?2?，求A-1B?223????．
????5??解：因为
?1?10100??1?1010 ???121010???0?0111??23001???10? ?2???043?201???1?10100????011110???00?1?6?41????100?4?31???1?10100????010?5?31??
??010?5?31???00164?1????00164?1?????4?31即 A?1?????5?31?
???64?1??-可编辑修改-
x?1精选
??4?31??1???5????????1所以 AB??5?312??6
????????64?1????5????9???0?1?3???-12．设矩阵A??2?2?7，I是3阶单位矩阵，求(I-A)．
?????3?4?8??解：由矩阵减法运算得
?100??0?1?3??113?????2?2?7???237?
I?A??010????????001?????3?4?8????349??利用初等行变换得
?113100??113100??237010???011?210? ??????349001????010?301???113100??110?2?33??1001?32???????010?301?
1 ?011?210?010?30?????????00?1?1?11????00111?1???00111?1???1??1即 (I?A)?????1?230?? 11???1?3?63??10?2??12?，计算(AB)-1．
3. 设矩阵 A =?，B =????1?20???41???63?10?2?????21??解 因为AB =???12?=?4?1? 1?20???41?????1???20?1?1??10??2110???2110? (AB I ) =? ????2?????0121???4?101??0121??012?1所以 (AB)-1= ?2??24.解矩阵方程?1?2? ?1?1?2? ?1???2?3???1?X???2?。
34????-可编辑修改-
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??2?3???1???2?3???1?解：由?，得 X?X?????????34??2??34??2??1??2?3??1???0所以，
?310??1??401???3111??1???1?31??0111?401??
043?1?3?3????2?3???1??43???1??2?X????2????3?2??2????1?
34???????????2x3?x4?0?x1?5．求线性方程组??x1?x2?3x3?2x4?0的一般解．
?2x?x?5x?3x?034?12 解：因为系数矩阵
?1?102?1??102?1??102?1????01?11???01?11?
A???11?32?????????2?15?3????0?11?1???0000???x1??2x3?x4所以一般解为?（其中x3，x4是自由元） 6．当?取何值时，线性方程组
x?x?x34?2x1?x2?x3?1??2x1?x2?4x3?? 有解？并求一般解． ???x?5x3?1?1解 因为增广矩阵
1??1111??111?10?5?1????0?1?6??2???0162?
A??21?4??????????2???1051???016??000???所以，当?=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
??x1?5x3?1 (x3是自由未知量〕
?x2??6x3?2
五、应用题
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1． 投产某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为C?(x)?2x?40（万元/百台）。试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量多少时，可使平均成本达到最低？
解: 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 ?C(x)??(2x?40)dx??x2?40x?64?100（万元）
46?又C(x)??x0C?(x)dx?c0xx2?40x?3636??x?40?
xx令C(x)?1?36?0，解得x=6。 2x2．已知某产品的边际成本C?(q)?4q?3（万元/百台），q为产量（百台），固定成本为18（万元），求最低平均成本．
解：总得成本函数为
C??C?(q)dq??(4q?3)dq?2q2?3q?18
平均成本函数为
C=C(q)18=2q-3+ qq C??2?1818?C?2??0，解得x=3（百台） ，令22qq因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为300台时，可使平均成本达到最低。 最低平均成本为 C(3)?2?3?3?18?9（万元/百台） 33．生产某产品的边际成本为C?(x)?8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)?100?2x（万元/百台），其中x为产量，问(1) 产量为多少时，利润最大？(2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解 （1）边际利润函数为
L?(x)?R?(x)?C?(x)=(100-2x)-8x=100-10x
令L?(x)?0 得 x=10（百台）
又x=10是L(x)的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L(x)存在最大值，故x=10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大．
（2）利润函数
12L??L?(x)dx??(100?10x)dx=(100x-5x2)10=-20
10101212即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元．
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4．已知某产品的边际成本C??2（元/件），固定成本为0，边际收益R??x??12?0.02x。问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解：因为边际利润
L??x??R??x??C??x??12?0.02x?2?10?0.02x
令L??x??0，得x=500。x=500是唯一驻点，而该问题确实存在最大值。所以，当产量为500件时，利润最大。
当产量由500件增加至550件时，利润改变量为
?L??10?0.02x?dx??10x?0.01x2?550?500500
550?500?525??25即利润将减少25元。
5.设生产某产品的总成本函数为 C(x)=3+x (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为，求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会R?(x)?15?2x（万元/百吨）发生什么变化？
解：(1) 因为边际成本为C?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x)?14?2x 令L?(x)?0，得x=7
由该题实际意义可知，x=7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为
?L??(14?2x)dx?(14x?x)78287（万元）
?112?64?98?49??1 即当产量由7百吨增加至8百吨时，利润将减少1万元。
6．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+x+6x（万元）,求：⑴当x=10时的总成本和平均成本； ⑵当产量x为多少时，平均成本最小？ 解：⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
2C(x)=100+x2+6x
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