线性代数知识点
1、行列式
1.
n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； ?ji?j3.
代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)iAijAij?(?1)Mij
4. 设n行列式D：
n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)2D； n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)2D；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；
将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)2；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2；
⑤、拉普拉斯展开式：
AOB?ACOB?AB、CABO?OABC?(?1)mnCAB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A??nn??(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；k?17. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
1
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）；
?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0；
?ATA是正定矩阵；
?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立；
3.
(A?1)*?(A*)?1(A?1)T?(AT)?1(A*)T?(AT)* (AB)T?BTAT(AB)*?B*A*(AB)?1?B?1A?1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
??A1?若A??A?2????，则： ?A?s?Ⅰ、A?A1A2As；
?A?1?1??Ⅱ、A?1??A?12????； ??A?1?s???1②、??AO??A?1O??OB?????OB?1?；（主对角分块） ??1③、??OA?B?1??BO?????O?A?1O?；（副对角分块） ??1?1④、??AC?????A?1?ACB?1??OB??OB?1?；（拉普拉斯） ??1⑤、??AO??A?1O??CB??????B?1CA?1B?1?；（拉普拉斯） ?
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3、矩阵的初等变换与线性方程组
?EO??； O?m?n1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??r?O等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若(A?,?E)??(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；
③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x?A?1b；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
??1?②、??????rrB；
c?2???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；
ii???n??13
?1??1??????1?1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?E(i,j)，例如：?1???；
??1?1??????11④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?1?E(i())，例如：?k?k???1?1???????1????1k???(k?0)； ?1??k??k??1?1?????1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1???(k?0)；
??1?1??????15. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
③、若AB，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1a②、型如?c??01b??的矩阵：利用二项展开式；
??001??n 二项展开式：(a?b)n?C0n1n?11na?Cnab??Cmn?mm?C1a1bn?1?CnnCmmn?mnab?n?nnb??nab；
m?0
注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；
Ⅱ、Cmn(n?1)(n?m?1)n!n?123m?m!(n?m)!C0?Cnnn?1
Ⅲ、组合的性质：nCm?Cn?mnnCmn?1?Cm?Cm?1rnn ?Cn?2nrCr?nCr?1nn?1； r?0③、利用特征值和相似对角化：
7. 伴随矩阵：
?nr(A)?n?????①、伴随矩阵的秩：r(A*)???1r(A)?n?1； ??0r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值：A???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；
③、A*?AA?1、A*?An?1
8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；
10. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
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11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2??a1nx①、?n?b1?????a21x1?a22x2??a2nxn?b2???； ???am1x1?am2x2??anmxn?bn?a11a12a1n??x1??b②、??a21a22a??A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）
???x??1??2n2???????b2??（向量方程，??Ax?b?am1am2a?????mn??xm??bm???x1??b1③、?a1a2a?x????2???（全部按列分块，其中???b2?）； n?????x?????n??bn?④、a1x1?a2x2??anxn??（线性表出）
⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,,?m)；
???T1?m个n维行向量所组成的向量组B：?TT,,?T?T?1,?2m构成m?n矩阵B??2??；
?????T?m??含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；
（矩阵方程）
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)
4.
r(ATA)?r(A)；(P101例15)
5.
n维向量线性相关的几何意义： ①、?线性相关 ???0；
②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；
6. 线性相关与无关的两套定理： 若?1,?2,,?s线性相关，则?1,?2,,?s,?s?1必线性相关；
若?1,?2,,?s线性无关，则?1,?2,,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：
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高中数学线性代数知识点全归纳-线性代数 知识点
