高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题09不等式、推理与证明理（含
解析）
1．【2019年高考全国II卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为
R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
M1M2M13?3?3?4??5r?2?(R?r)3.设??，?3?3，由于?的值很小，因此在近似计算中22(R?r)rR(1??)R则r的近似值为 A．M2R M13B．M2R 2M13
C．3M2R M1 D．M2R 3M1【答案】D 【解析】由??r，得r??R R因为M1M2M1??(R?r)，
(R?r)2r2R3M1M2M1??(1??)，
R2(1??)2?2R2R2所以M21?5?3?4?3?32??[(1??)?]??3?3， 即22M1(1??)(1??)解得??3M2， 3M13所以r??R?M2R. 3M1
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
2．【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则 A．ln(a?b)>0 C．a?b>0
3
3
B．3a<3b D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取a?2,b?1，满足a?b，ln(a?b)?0，知A错，排除A；因为9?3a?3b?3，知B错，
3排除B；取a?1,b??2，满足a?b，1?a?b?2，知D错，排除D，因为幂函数y?x是增函数，a?b，所以a3?b3，故选C．
【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
3．【2019年高考北京卷理数】若x，y满足|x|?1?y，且y≥?1，则3x+y的最大值为 A．?7 C．5 【答案】C
B．1 D．7
??1?y,作出可行域如图阴影部分所示. 【解析】由题意??y?1?x?1?y 设z?3x?y,y?z?3x,
当直线l0:y?z?3x经过点?2,?1?时,z取最大值5.故选C．
【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画?移?解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识?基本技能的考查.
4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2?m1=E15lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的E22星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A． 10
10.1
B． 10.1 D． 10–
10.1
C． lg10.1 【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足m2?m1?5E1lg,令m2??1.45,m1??26.7, 2E2lgE12E2???m2?m1??(?1.45?26.7)?10.1,1?1010.1. E255E2故选：A．
【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以及指数对数运算.
?x?y?2?0,?x?y?2?0,?5．【2019年高考天津卷理数】设变量x,y满足约束条件?，则目标函数z??4x?y的最大值x?1,???y?1,为 A．2 C．5 【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线y?4x?z在y轴上的截距， 故目标函数在点A处取得最大值.
B．3 D．6
由??x?y?2?0,，得A(?1,1)，
?x??1所以zmax??4?(?1)?1?5. 故选C.
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 6．【2019年高考天津卷理数】设x?R，则“x2?5x?0”是“|x?1|?1”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】化简不等式，可知0?x?5推不出x?1?1， 由x?1?1能推出0?x?5，
故“x2?5x?0”是“|x?1|?1”的必要不充分条件， 故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.
?x?3y?4?0?7．【2019年高考浙江卷】若实数x,y满足约束条件?3x?y?4?0，则z?3x?2y的最大值是
?x?y?0?A．?1 C． 10 【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
B． 1 D． 12
因为z?3x?2y，所以y??31x?z. 22平移直线y??31x?z可知，当该直线经过点A时，z取得最大值. 22?x?3y?4?0?x?2联立两直线方程可得?，解得?. 3x?y?4?0y?2??即点A坐标为A(2,2)，
所以zmax?3?2?2?2?10.故选C.
【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 8．【2019年高考浙江卷】若a
?0,b?0，则“a?b?4”是 “ab?4”的
高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题09不等式、推理与证明理(含解析)
