2014年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1１．当x→0时，若ln(1+2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是（ ）
（A）(2,+?) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)
+?1212???1????【详解】ln(1+2x)~2x，是?阶无穷小，(1?cosx)?~1x?是阶无穷小，由题意可知?2
??1?2???1122所以?的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A）y=x+sinx （B）y=x+sinx（C）y=x+sin2112 （D）y=x+sin
xx【详解】对于y=x+sin应该选（C）
1y1，可知lim=1且lim(y?x)=limsin=0，所以有斜渐近线y=x
x→?xx→?x→?xx3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1?x)+f(1)x，则在[0,1]上（ ）
（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
g(x)=f(0)(1?x)+f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f??(x)?0时，曲线是凹
的，也就是f(x)?g(x)，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
F(x)=f(x)?g(x)=f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则F(0)=F(1)=0，且F\(x)=f\(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而F(x)?F(0)=F(1)=0，即F(x)=f(x)?g(x)?0，也就是
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f(x)?g(x)，应该选（D）
?x=t2+7,4．曲线? 上对应于t=1的点处的曲率半径是（ ）
2?y=t+4t+1（Ａ）
1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510 50100【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K=y\(1+y'2)32，曲率半径R=1． K221dxdydy2t+42dyt本题中=2t,=2t+4，所以==1+，2==?3，
dtdtdx2tt2tdxt?对应于t=1的点处y'=3,y\=?1，所以K=应该选（C）
5．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf'(?)，则limx→0y\(1+y'2)3=11010，曲率半径R=1=1010． K?2x2=（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
121 （Ｃ） （Ｄ）
3321133x→0时,arctanx=x?x+o(x)． ，（2）231+x1f(x)arctanxx?arctanx2==?=，，
xx1+?2(arctanx)2【详解】注意（1）f'(x)=由于f(x)=xf'(?)．所以可知f'(?)=13x?(x?x)+o(x3)2?x?arxtanx13lim2=lim=lim=． x→0xx→0x(arctanx)2x→03x3?2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及
?x?y?2u?2u． +2=0，则（ ）2?x?y
（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；
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（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在
?u?u?2u?2u?2u?2u==0，在这个点处A=2,C=2,B=内部存在驻点(x0,y0)，也就是，由=?x?y?x?y?y?x?x?y条件，显然AC?B?0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．
所以应该选（A）．
20a7．行列式
0cab000b等于
cd000d2（A）(ad?bc) （B）?(ad?bc) （C）ad?bc （D）?ad+bc 【详解】
2222222220a0ca0c0b0a0ba0b0babab=?a0d0+b0c0=?ad+bc=?(ad?bc)2 d0cdcdc0dc0d0d应该选（B）．
8．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1+k?3，?2+l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量?1,?2,?3线性无关，则
?10???（?1+k?3，?2+l?3）=(?1,?2,?3)?01?=(?1,?2,?3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等
?kl???于2，所以向量?1+k?3，?2+l?3一定线性无关．
?1??0??0???????而当?1=?0?,?2=?1?,?3=?0?时，对任意的常数k,l，向量?1+k?3，?2+l?3线性无关，但
?0??0??0????????1,?2,?3线性相关；故选择（A）．
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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
?1??1dx= ． 2x+2x+511dx1x+11dx==arctan|??=???x2+2x+5???(x+1)2+4221【详解】
1????3?． ??(?)?=2?42?810．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x?1),x?0,2，则f(7)= ． 【详解】当x?0,2时，f(x)=?????2(x?1)dx=x2?2x+C，由f(0)=0可知C=0，即
f(x)=x2?2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)=f(?1)=f(1)=1．
11．设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z=7确定的函数，则dz|?11?= ．
?,?4?22?【详解】设F(x,y,z)=e2yz71当x=y=+x+y2+z?，Fx=1,Fy=2ze2yz+2y,Fz=2ye2yz+1，
42时，z=0，
FyF111?z1?z=?，所以dz|?11?=?dx?dy． =?x=?，=??,?Fz222?xFz2?y?22?12．曲线L的极坐标方程为r=?，则L在点(r,?)=?????,?处的切线方程为 ． 22??【详解】先把曲线方程化为参数方程??x=r(?)cos?=?cos???，于是在?=处，x=0,y=，
22?y=r(?)sin?=?sin?dysin?+?cos?2?2????|?=|?=?，则L在点(r,?)=?,?处的切线方程为y?=?(x?0)，即dx2cos???sin?2?2??22?y=?2?x+?2.
13．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度?(x)=?x+2x+1，则该细棒的质心坐标
??2x= ．
11(?x+2x+x)dx?11?00=1=12=【详解】质心坐标x=1．
25?0?(x)dx?0(?x+2x+1)dx3201x?(x)dx1322214．设二次型f(x1,x2,x3)=x1?x2+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围
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是 ． 【详解】由配方法可知
2f(x1,x2,x3)=x12?x2+2ax1x3+4x2x3=(x1+ax3)?(x2?2x3)+(4?a)x由于负惯性指数为1，故必须要求4?a?0，所以a的取值范围是?2,2．
222223
??三、解答题
15．（本题满分10分）
?求极限limx→+?x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1+)x．
21t【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
x→+??limx1(t(e?1)?t)dtx2ln(1+1)x21t?=limx→+?x1(t(e?1)?t)dtx21t=lim(x2(e?1)?x)x→?1x
111??1=lim?x2(++o()?x?=22x→?x2xx??216．（本题满分10分）
已知函数y=y(x)满足微分方程x+yy'=1?y'，且y(2)=0，求y(x)的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到(1+y)222dy=1?x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx可得方程通解为：
1312y+y=x?x3+C，由y(2)=0得C=， 333即
1312y+y=x?x3+． 333dy1?x2d2y?2x(1+y2)2?2y(1?x2)2 令； ==0，得x=?1，且可知2=dx1+y2dx(1+y2)3当x=1时，可解得y=1，y\=?1?0，函数取得极大值y=1； 当x=?1时，可解得y=0，y\=2?0，函数取得极小值y=0． 17．（本题满分10分）
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2014-数二真题、标准答案及解析
