2024 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷）
文科数学
一、选择题：本题共 1． i 2 3i
12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
开始
A ． 3 2i 2．已知集合 A
A ． 3 3．函数 f x
B ． 3 2i C． 3 2i
，则 A
C．
D ． 3 2i
1,3,5,7 ， B 2,3,4,5
B 3,5
B ． 5 e x x2
的图像大致为
D ． 1,2,3,4,5,7
ex
A B
．已知向量 ， b满 足 ， a b 4 | a | 1 a A ． 4
1 ，则
C
D
a (2a b) C． 2
B． 3
D ．0
5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选
A． 0.6
2 人参加社区服务，则选中的
2 人都是女同学的概率为 D． 0.3
B． 0.5
C． 0.4 3
x2
y2
6．双曲线A ． y
a2
b2 1( a 0, b 0) 的离心率为
2x
B． y
3x
，则其渐近线方程为
2
D ． y x C． y
2 5，则 AB
3 2
x
7．在 △ABC 中， cos
C
5
5
，BC
1， AC
2
N
i
是 1 i
T
T
0,T 0
A．4 2
B． 30
C． 29 D．2 5
8．为计算 S 1
1 1 2 3
1 4
1
99 100
1 ，设计了如图的程序框图，则在
1
空白框中应填入
i 100
N
否
N
S N T 输出 S 结束
A ． i i B ． i i
1 2 3 4
1 i 1
C． i i
D ． i i
9．在正方体 ABCD
A ．
A1B1C1D1 中， E 为棱 CC1 的中点，则异面直线
AE 与 CD 所成角的正切值为
D．
2 2
B．
3 2
C．
5
7 2
2
10．若 f (x)
cos x sin x 在 [0, a] 是减函数，则 a 的最大值是
文科数学 1
A ．
4
π
B．
π
C．
3π
4
D． π
2
11．已知 F1 ， F2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若
A ． 1
PF1
PF2 ，且 PF2F1
D． 3 1
60 ，则 C 的离心率为
3 2
B．23
C．
3 1 2
12．已知 f (x) 是定义域为 (
A． 50
, B． 0
) 的奇函数，满足 f (1 x) f (1 x) ．若 f 1)( 2 ，则 f 1)(
C． 2 20 分。
(f2) 3)( f f 50)(
D． 50
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
13．曲线 y 2ln x 在点 (1,0)
处的切线方程为 __________．
x 2 y 5≥ 0,
≥
14．若 x, y 满足约束条件 x 2 y 3 0, 则 z
x 5≤ 0, 15．已知 tan(α
x y 的最大值为 __________．
5π 1
)
，则 tanα __________ ．
4 5
16．已知圆锥的顶点为
S ，母线 SA， SB 互相垂直， SA与圆锥底面所成角为 30 ，若 △SAB的面积为 8 ，则该圆锥
的体积为 __________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
作答。第 22、 23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 17．（ 12 分）
17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须
60 分。
记 Sn 为等差数列 { an } 的前 n 项和，已知 a1 （ 1）求 { an} 的通项公式；
7， S3 15 ．
（ 2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值．
18．（ 12 分）
下图是某地区 为了预测该地区
2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 2024 年的环境基础设施投资额，建立了
y （单位：亿元）的折线图．
y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 2000 年至
t ?
2016 年的数据（时间变量 的值依次为 1, 2, ,17 ）建立模型①： y 30.4 13.5t ；根据
t ?
的值依次为 1, 2, , 7 ）建立模型②： y 99 17.5t ． 数据（时间变量
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2010 年至 2016 年的
（ 1）分别利用这两个模型，求该地区2024 年的环境基础设施投资额的预测值；
（ 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（ 12 分）
如图，在三棱锥 P ABC中， AB
BC 2 2， PA PB PC AC 4，O为 AC的中点．
P
（ 1）证明： PO
平面 ABC ；
2MB ，
（ 2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC 求点 C 到平面 POM 的距离．
O
A
C
B
M
20．（ 12 分）
设抛物线 C：y
2
4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | 8 ．
（ 1）求 l 的方程；
（ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
文科数学 3
21．（ 12 分）
已知函数 f x
1 x3 a x2 3
x 1 ．
（ 1）若 a 3 ，求 f (x) 的单调区间；
（ 2）证明： f ( x) 只有一个零点．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第
22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22． [选修 4－4：坐标系与参数方程
] （ 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线
C
的参数方程为
x 2cosθ, （ 为参数），直线 的参数方程为
l
y 4sin θ θ
x 1 t cos α, y 2 t sin α
（ t 为参数）．
（ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为
(1,2) ，求 l 的斜率．
23． [选修 4－5：不等式选讲 ]（ 10 分）
设函数 f ( x) （ 1）当 a
5 | x a | | x 2| ．
1 时，求不等式 f ( x) ≥ 0 的解集；
（ 2）若 f (x) ≤ 1 ，求 a 的取值范围．
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2024年高考全国二卷文科数学试卷
