三、集合的运算
知识点
（1） 集合的并集与交集，补集的概念 （2） 集合运算的性质
（3） 有关集合运算的综合问题的解法 知识梳理
一、集合的交集、并集、补集的概念 并集 交集 由所有属于集合A或由属于集合A且属于属于集合B的元素所集合B的元素所组成概组成的集合，称为集的集合，称为集合A念 合A与B的并集与B的交集（union set） （intersection set） 记（读作“A并B”） AB（读作“A交B”） AB号 符AB?{x|x?A,或x?B}AB?{x|x?A,且x?B}号 图形表 示 二、性质（1）交集的性质
补集 对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集（complementary set） UA（读作“A的补集”） UA?{x|x?U,且x?A} U A (1)A∩A=A A∩Φ=Φ，A∩B=B∩A (2)A∩B?A, A∩B?B． （2）并集的性质
(1)A∪A=A (2)A∪Φ=A (3)A∪B=B∪A (4)A∪B?Ａ,A∪B?B 联系交集的性质有结论：Φ?A?B?A?A?B． （3）A∩B=B等价于B?A；A∪B=A等价于B?A
分类例析
一、集合的运算
例1、(1)已知集合A?a,a?1,?3,B?a?3,2a?1,a?1，若A∩B={-3}，则实
?2??2?数a= ．
（2）设集合A={x|-1 则A∩B= ． A∪B= ． (3)已知集合M?{(x,y)|x?y?2},N?{(x,y)|x?y?4}，那么集合M∩N = . 1 解析(1)分析：由-3?B知，a-3=-3或2a-1=-3，所以a=0或a=-1， 当a=0时，A={0,1,-3},B={-3,-1,1}不满足A∩B={-3}所以 不符合题意， a=-1时，A={1,0,-3} B={-4，-3, 2}满足A∩B={-3}，所以a=-1 (2)答案{x|3 练习1 1、若A??0,1,2,3?,B??x|x?3a,a?A?，则A∩B（ ）. A. ?1,2? B. ?0,1? C. ?0,3? D. ?3? 2（2017上海）.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ． 3（北京文数）⑴ 集合P?{x?Z0?x?3},M?{x?Zx?9}，则P∩M= (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} 2 4.设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B= A、{1，2} B、{1，5} C、{2，5} D、{1，2，5} 5．已知集合M?{1，3}，N?{x|0?x?3，x?Z}，又P=M∪N那么集合P的真子集共有（ ）. A．3个 B．7个 C．8个 D．9个 6．若A?{x|0?x?2},B?{x|1?x?2}，则AB?（ ）. A. {x|x?2} B. {x|x?1} C. {x|1?x?2} D. {x|0?x?2} 7（陕西文数）1.集合A={x(A){x(C) {x－1≤x≤2}，B＝｛x （B）{xx＜1｝,则A∩B= x＜1} －1≤x≤2} －1≤x＜1} －1≤x≤1} (D) {x8（安徽文数）(1)若A=?x|x?1?0?，B=?x|x?3?0?，则 A∩B= (A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) 9（北京理数）（1） 集合P?{x?Z0?x?3},M?{x?Zx?9}，则P (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} 2M= 2 二、利用交集、并集关系求字母的范围 例2、（1）已知集合A?{x|?2?x?4}，B?{x|x?m}，且A∩B=A，则实数m的取值范围是 . （2）已知集合A?{x|?2≤x≤7}，B?{x|m?1?x?2m?1}，且B??，若A∪B=A，则（ ）. A．－3≤m≤4 B．－3?m?4 C．2?m?4 D．2?m≤4 （3）已知A?{x?2?x?5}，B?{xm?1?x?2m?1}，若A∩B=B,则m的取值范围是 。 分析：(1)本题关键是条件A∩B=A转化为A?B，所以m?4 （2）本题注意条件B??与A∪B=A的运用，由B??得m+1<2m-1 由A∪B=A得B?A，从而有 m+1?-2 2m-1≤7 两条件同时成立，解得1 （3）本题A∩B=B还是转化成B?A，但这里集合B=?符合题意，因而就要分类讨论：当B=?时，m+1>2m-1 ,则m<2 m+1?-2 当B??时，m+1≤2m-1且 2m-1≤5 则2≤m≤3 综上m的范围是m≤3 归纳：第（2）、（3）两题注意条件B??与B=?的灵活运用； 条件A∩B=B转化 成B?A 解题更方便 练习2 1．设集合M?{x|?1?x?2},N?{x|x?k?0}，若M ∩N??，则k的取值范围是（ ）. A．k?2 B．k??1 C．k??1 D．?1?k?2 2（2013上海1）设常数a∈R，集合A=x(x?1)(x?a)?0，B=xx?a?1.若A∪B=R，则a的取值范围为（ ） （A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞） 3 ????3．已知集合A?{x|a?1?x?2a?1}，B?{x|0?x?1}，若 A∩B=?，求实数a 的取值范围。 例3、设集合A?{x|(x?4)(x?a)?0,a?R}，B?{x|(x?1)(x?4)?0}. 求（1）AB， A∩B （2）若A?B，求实数a的值； ?（3）若a?5，则AB的真子集共有 个, 集合P满足条件(A∩B )?P??(AB)，写出所有可能的集合P. 分析：（1）B={1，4}，而集合A需要分类讨论： 若a=4，则集合A={4}，所以AB={1，4} ， A∩B={4} 若a=1，则集合A=B，所以A∩B=AB={1，4} 若a?1且a?4，则集合A={4，a}，所以A∩B={4}，AB={1，4，a} （2）若A?B，由（1）知a=1或4 （3）若a?5，A={4,5},则AB={1，4，5}，所以AB的真子集共有23-1=7个 ?又因为A∩B={4}，(A∩B )??P?(AB)，所以集合P={1,4} {4,5} 归纳：本题容易错的原因就是忘记讨论a的值，根据集合的元素的互异性，必须分类讨论 练习3 设A?xx2?4x?0，B?xx2?2(a?1)x?a2?1?0； （1）若A∩B=B，求实数a的值； （2）若AB=B，求实数a的值． 4 ????三、补集 例4、(1)已知全集U?{x|x?10,且x?N*}，A?{2,4,5,8}，B?{1,3,5,8}，求CU(AB)，CU(A∩B)，(CUA)∩(CUB)， (CUA)(CUB)，并比较它们的关系. (2)设全集U?{x|0?x?10,x?N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1,5,7}， (CUA)∩(CUB)={9}，求集合A、B. 解：(1)由AB?{1,2,3,4,5,8}，则CU(AB)?{6,7,9}. 由A∩B={5,8}，则CU(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9} 由CUA?{1,3,6,7,9}，CUB?{2,4,6,7,9}，则(CUA)(CUB)?{6,7,9}， (CUA)(CUB)?{1,2,3,4,6,7,9}. 由计算结果可以知道，(CUA)∪(CUB)= CU(A∩B)，(CUA)∩(CUB)= CU(A∪B) 另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. (2) U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由A∩B={3}，A∩CUB={1,5,7}知，集合A中有3,1,5,7，集合B中有3无1,5,7；又因为(CUA)∩(CUB)={9}，即CU(A∪B)={9}，所以集合A、B中都不含9；若A中含2，则B中必不含2，所以CUB中就有2，这样A∩CUB中就有2，不符合题意所以集合A中不含无2，同理，集合A中也无4,6,8；,而B中有2，，4,6,8则符合题意，综上，集合A={1,3,5,7},B={2，3,4,6,8} 另解：也可画Venn图 点评：(1)可用Venn图研究(CUA)(CUB)?CU(AB)与(CUA)(CUB)?CU(AB)（摩根律） ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题. 练习4 1．已知全集U??1,2,3,4,5,6,7?,A??2,4,5?，则CUA=（ ）. A. ? B. ?2,4,6? C. ?1,3,6,7? D. ?1,3,5,7? 2．右图中阴影部分表示的集合是（ ）. A. A∩(CUB) B. CUA∩B C. CU (A∩B) D. CU(A∪B) A 3．设全集U?{x?N*|x?8}，A?{1,3,5,7}，B?{2,4,5},则CU(AB)= . 5
集合教、学案：三、集合的运算
