因此，所求直线应过M和O3的直线，符合题设要求的唯一的． 由于M(16.5，88)，O3(17，76)，则该直线的斜率的绝对值是
88－76|k|＝||＝24．
16.5－17
情景再现
7．证明：方程x4－16x2＋2x2y2－16y2＋y4＝4x3＋4xy2－64x的图形为两个互相内切的圆．(天津市高中数学竞赛题)
8．已知：通过定点M(x1，y1)的两个圆与两坐标轴相切，它们的半径分别为r1、r2．
求证：r1r2＝x1＋y1．(辽宁省高中数学竞赛题)
2
2
习题51
?x＝tcos?，?x＝4＋2cos?，
1．已知直线?(t为参数)与圆?(?为参数)相切，则直线的倾斜角
?y＝tsin??y＝2sin?
为( ) (湖南省1998年高中数学竞赛)
?5??3?A．6或6 B．4或4
5??2??C．3或3 D．－6或－6
2．已知：圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l与C相切，且l与x、y轴交于点A、B，O为原点．|OA|＝a，|OB|＝b，a＞2，b＞2．
(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；
(2)l与x、y轴交于点A、B，求线段AB的中点轨迹； (3)求△AOB面积的最小值．
3．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是 ．(1990年全国高中数学
y联赛)
14．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) ?1O1xA．(x＋1－y2)(y＋1－x2)＝0
B．(x－1－y2)(y－1－x2)＝0 C．(x＋1－y2)(y－1－x2)＝0 D．(x－1－y2)(y＋1－x2)＝0 (1992年全国高中数学联赛)
?155
5．已知点集A＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2≤(2)2}，B＝{(x，y)|(x－4)2＋(y－5)2＞(2)2}，则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ．(1994年全国高中数学联赛)
6．在直角坐标平面，以(199，0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．(1996年全国高中数学联赛)
7．设定点P在圆周x2＋y2＝1上，若点Q、R在圆x2＋y2＝1的内部或圆周上，且⊿PQR
为边长是
2
的正三角形．则|OQ|2＋|OR|2的最大值为 ；(O为坐标原点) (上3海市1992年高中数学竞赛)
8．求一个圆，它与三个圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9；C2：(x－3)2＋(y－5)2＝25；C3：(x－10)2＋y2＝19都相交，且在交点处的切线互相垂直．
本节“情景再现”解答： 1．C． 2．140．
3125
3．(x－)2＋(y－)2＝．
8264
4．(1)C．(2)C．
5．圆C的圆心(1，－2)，半径r＝3．设l的方程为y＝x＋b，则过A、B的圆可写为x2
＋y2－2x＋4y－4＋λ(x－y＋b)＝0，即x2＋y2＋(λ－2)x＋(4－λ)y－4＋λb＝0．其圆心(－－
4－?)在直线y＝x＋b上，故λ－4＝2－λ＋2b，?λ＝b＋3． 2
?－2
2
，原点在此圆上，故λb＝4．则b＝1，λ＝4；或b＝－4，λ＝－1．则直线l的方程为y＝x＋1，或y＝x－4．
cosAbsinB
6．因为＝＝，则可得2A＝2B，或2A
cosBasinAb4
2A＝2B与＝矛盾，故A＋B＝90°，则C＝90°，a
a3
y＋2B＝180°．而＝6，b＝8．内切
A圆半径＝2．建立直角坐标系(如图)，设P(x，y)，则(x－2)2＋(y－2)2＝COBx22．d＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－8)2＝3x2＋3y2－12x－16y＋100＝88－4y(0≤y≤4)．故dmin＋dmax＝88＋72＝160．
7．方程x4－16x2＋2x2y2－16y2＋y4＝4x3＋4xy2－64x可以写成
(x2＋y2)(x2＋y2－16)－4x(x2＋y2－16)＝0，即(x2＋y2－4x)(x2＋y2－16)＝0，从而x2＋y2－4x＝0，或x2＋y2－16＝0，即(x－2)2＋y2＝4，或x2＋y2＝16．方程(x－2)2＋y2＝4表示圆心为(2，0)，半径为2的圆，方程x2＋y2＝16表示圆心为(0，0)，半径为4的圆．而两圆的半径的差为2，且圆心距为2，所以这两个圆互相内切，即方程x4－16x2＋2x2y2－16y2＋y4＝4x3＋4xy2－64x的图形为两个互相内切的圆．
8．如图，由于两圆和两坐标轴相切，设两圆的方程分别为(x
y－a1)2＋(y－b1)2＝a1，|a1|＝|b1|＝r1；(x－a2)2＝|b2|＝r2．即
2
a2＝0．因为2
2
2
x2＋y2－2a1(x±y)＋a1＝0；x2
2x1＋
OMO1xO22
＋(y－b2)2＝a2，|a2|＋y2－2a2(x±y)＋y1－2a1(x1±y1)＋
2
2
M(x1，y1)在圆O1、O2上，则
2
2
a1＝0；x1＋y1－2a2(x1±y1)＋a2＝0．如果两圆O1、O2在同一象限内，于是a1、a2是方程x2－2(x1±y1)x＋x1＋y1＝0的两个根．所以由根与系数关系推得，a1a2＝x1＋y1，即r1r2＝x1＋
2
2
2
2
2
y1．
本节“习题11”解答： 1．A．
2．(1)C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1，1)，半径为1．直线l的方程为(±bx)＋(±ay)
|a＋b－ab|
－ab＝0．但只有bx＋ay－ab＝0与C可能相切．直线l与C相切的充要条件为＝a2＋b2
1，即ab－2a－2b＋2＝0，就是(a－2)(b－2)＝2．(2)设AB中点为(x，y)，则a＝2x，b＝2y，1
代入得轨迹为2(x－1)(y－1)＝1(x＞1)．(3)S△AOB＝2ab＝a＋b－1＝(a－2)＋(b－2)＋3≥2(a－2)(b－2)＋3＝3＋22．
3．点P在单位圆上，sin(2t－60°)＝cos(150°－2t)，cos(2t－60°)＝sin(150°－2t).当t由131315°变到45°时，点P沿单位圆从(－，)运动到(，)．线段AP扫过的面积等于扇形面
22221
积等于π．
6
4．D． 5．7．
6．4个．提示：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2＋y2＝1992的整数解数．显然x、y一奇一偶，设x＝2m，y＝2n－1．且1≤m，n≤99．则得4m2＝1992－(2n－1)2＝(198＋2n)(200－2n)．m2＝(99＋n)(100－n)≡(n－1)(－n)(mod 4)．由于m为正整
?0，(当n?0，1(mod 4)时)
数，m2≡0，1(mod 4)；(n－1)(－n)≡?二者矛盾，故只有(0，±199)，
?2，(当n?2，3(mod 4)时)
2
(±199，0)这4解．所以共有4个，分别为(199，±199)，(0，0)，(398，0)．
22227．3(4－6)．提示：不妨取P(1，0)，∠QPO＝θ，则Q(1－cosθ，sinθ)；R(1－
33324444
cos(θ－60?)，sin(θ－60?))．于是|OQ|2＋|OR|2＝1－cos? ＋3＋1－cos(?－60?)＋3＝
3331443314
－(cos?＋sin?)＝－4cos(?－30?)，当θ最大时|OQ|2＋|OR|2取得最大值．当Q32233
211
在⊙O上时，由OP＝OQ＝1，PQ＝，即得cosθ＝，故对于任何点Q有cosθ≥，
333141462
则|OQ|2＋|OR|2≤－2cos(?－30?)＝－2(1＋)＝(4－6)．
33338．设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．则
(a－5)2＋(b－3)2＝9＋r2；?a2＋b2－10a－6b＝r2－25． ① (a－3)2＋(b－5)2＝25＋r2；?a2＋b2－6a－10b＝r2－9． ② (a－10)2＋b2＝19＋r2．?a2＋b2－20a＝r2－81． ③ ②－①： a－b＝4． ①－③： 5a－3b＝28．
解得a＝8，b＝4．r＝1．即所求圆为(x－8)2＋(y－4)2＝1
江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第51讲 圆
