当x??6时，函数取得最大值，可得2sin?2????????????2，即sin?????1， 6??3??3???2k???2,k?Z，解得??2k???,k?Z ，又??(0,)所以??，
662?π
骣??fx=2sin2x+÷故()÷， ??桫6÷k??k?Z?，
6262?k?所以f?x?的对称轴方程为x???k?Z?；
62令2x?????k?则x???（2）Qx??0,???7??????2x???,?， ?6?66??2?所以方程f?x??2a?3有两个不等实根时，
y?f?x?的图象与直线y?2a?3有两个不同的交点，可得1?2a?3?2,
?2?a?当x??0,5, 2?????fx?fx2x??2x???， 时，，有?1??2?12?266??故x1?x2??3.
【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．
21.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2an?n?3n?2n?N2?*?.
c（1）求证：数列{an?2n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设cn?log2?an?2n??2，数列{dn}满足：dn?cn?3??cn?4??1??n?1??n?2?2n，数列{dn}的前n项和为Tn，求使不等式2Tn?2?【答案】（1）证明见解析；（2）2016. 【解析】 【分析】
- 16 -
n1成立的最小正整数n. 10092（1）已知Sn?2an?n?3n?2，可得Sn-1?2an?1??n?1??3?n?1??2，两式作差整理
2得an?2n?2?（2）由（1）可求得数?an?1?2?n?1??? ，即可得到证明，从而得到通项公式；列{dn}的通项公式，利用分组求和可求得Tn，解不等式即可得到n值.
2【详解】（1）当n?1时，a1?2a1?1?3?2得a1?0，则a1?2?1?2?0,
Sn?2an?n2?3n?2，当n?2时Sn-1?2an?1??n?1??3?n?1??2,
作差得an?2an?2an?1?2n?4,即an=2an?1+2n-4 整理得an?2n?2an?1?4?n?1??2??an?1?2?n?1???, 即数列{an?2n}等比数列，首项a1?2?2，公比为2，
2?an?2n??a1?2??2n?1?2n,an?2n?2n.
（2）Qcn?log2?an?2n??2?n?2,
?dn??n?1??n?2??1??n?1??n?2?2n?2 ,
?dn?1?n?1??n?2??2n?2?11??2n?2, n?1n?211?2n??11?2?1111?Tn??????...????n?1n?2?1?2?2334?1111???2n?1??2n?1?， 2n?22n?2n不等式2Tn?2?解得n?2016,
121n?2n?即为2?， n?210091009所以，使得2Tn?2?n1成立的最小整数n的值为2016. 1009【点睛】本题考查利用定义法证明数列为等比数列，考查分组求和和裂项相消求和法的应用，考查等比数列前n项和公式的应用，考查分析推理及计算能力，属于中档题.
- 17 -
22.已知幂函数f?x??p?3p?3x2??31p2?p?22满足f?2??f?4?．
（1）求函数f?x?的解析式； （2）若函数g?x??f2?x??mf?x?,x??1,9?，是否存在实数m使得g?x?的最小值为0？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数h?x??n?f?x?3?，是否存在实数a,b?a?b?，使函数h?x?在?a,b?上的值域为?a,b?？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）f?x??x2；（2）存在m??1使得g?x?的最小值为0；（3）n???,?2?．
?4?【解析】
2试题分析：（1）根据幂函数f?x?是幂函数，可得p?3p?3?1，求解p的值，即可得到函
1?9?数的解析式； （2）由函数g?x??f2?x??mf?x?,x?[1,9]，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最
小值，即可求解实数m的取值范围；
（3）由函数h?x??9?f(x?3)，求解h?x?的解析式，判断其单调性，根据在?a,b?上的值域为?a,b?，转化为方程有解问题，即可求解n的取值范围． 试题解析：
2（1）∵f?x?为幂函数，∴p?3p?3?1，∴p?1或p?2．
?1当p?1时，f?x??x在?0,???上单调递减，
故f?2??f?4?不符合题意．
当p?2时，f?x??x2?x在?0,???上单调递增， 故f?2??f?4?，符合题意．∴f?x??（2）g?x??x?mx， 令t?2x．∵x??1,9?，∴t??1,3?，∴g?x??t?mt，t??1,3?．
1x．
当?
m?1时，t?1时，g?x?有最小值， 2- 18 -
∴1?m?0，m??1．
mmm2②当1???3时，t??时，g?x?有最小值．∴?． ?0，m?0（舍）
224③当?m?3时，t?3时，g?x?有最小值， 2∴9?3m?0，m??3（舍）．∴综上m??1． （3）h?x??n?x?3， 易知h?x?在定义域上单调递减，
???n?a?3?b?h?a??b∴?，即?，
hb?a??????h?b?3?a令a?3?S，b?3?t，
2?n?S?t?3则a?S2?3，b?t2?3，∴?，∴t2?S?S2?t， 2?n?t?S?3∴?t?S??t?S?1??0． ∵a?b，
∴S?t，∴t?S?1?0，∴t?1?S， ∴a?3?b?3?1．
11?1?S?0,?， ∵a?b，∴?3?a??，∴?4?2?2?9?19??∴n?t?S2?3 ?S2?S?2 ??S???．∴n???,?2?． ?4?2?4?点睛：本题主要考查了幂函数的解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质等知识点的综合应用，其中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题综合性强，属于难题，考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识．
- 19 -
广东省2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
