2014年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是（ ）
（A）(2,??) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,)
??1212???1?【详解】ln?(1?2x)~2?x?，是?阶无穷小，(1?cosx)?~1x?是阶无穷小，由题意可知?2
??1?2???1122所以?的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A）y?x?sinx （B）y?x2?sinx（C）y?x?sin （D）y?x?sin1x21 x【详解】对于y?x?sin，可知limx??1xy1?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?x
x??x??xx应该选（C）
3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ）
（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f??(x)?0时，曲线是凹
的，也就是f(x)?g(x)，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
F(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则F(0)?F(1)?0，且F\(x)?f\(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而F(x)?F(0)?F(1)?0，即F(x)?f(x)?g(x)?0，也就是
Page 1 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714
f(x)?g(x)，应该选（D）
?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（ ） 2?y?t?4t?1（Ａ）
1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510 50100y\(1?y'2)32【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K?，曲率半径R?1． K22dxdydy2t?42dy1t?2t,?2t?4，所以??1?，2?本题中??3，
dtdtdx2tt2tdxt?对应于t?1的点处y'?3,y\??1，所以K?应该选（C）
5．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf'(?)，则limx?0y\(1?y'2)3?11010，曲率半径R?1?1010． K?2x2?（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
211 （Ｃ） （Ｄ） 3231133x?0时,arctanx?x?x?o(x)． ，（2）231?x【详解】注意（1）f'(x)?由于f(x)?xf'(?)．所以可知f'(?)?1f(x)arctanxx?arctanx2，， ????xx1??2(arctanx)213x)?o(x3)13?． 3x3limx?0?2x2?limx?0x?arxtanx?limx(arctanx)2x?0x?(x??2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及
?x?y?2u?2u． ?2?0，则（ ）2?x?y
（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；
Page 2 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714
（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在
?2u?2u?2u?2u?u?u内部存在驻点(x0,y0)，也就是，由??0，在这个点处A?2,C?2,B???x?y?x?y?y?x?x?y条件，显然AC?B?0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．
所以应该选（A）．
27．行列式
0aa0b00b0cd0c00d等于
（A）(ad?bc)2 （B）?(ad?bc)2 （C）ad?bc （D）?ad?bc 【详解】
222222220a0cab0a0ba0b00babab??a0d0?b0c0??ad?bc??(ad?bc)2
cd0cdcdc0dc0d00d应该选（B）．
8．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量?1,?2,?3线性无关，则
?10???（?1?k?3，?2?l?3）?(?1,?2,?3)?01??(?1,?2,?3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等
?kl???于2，所以向量?1?k?3，?2?l?3一定线性无关．
?1??0??0???????而当?1??0?,?2??1?,?3??0?时，对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关，但
?0??0??0???????． ?1,?2,?3线性相关；故选择（A）
Page 3 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1dx? ． 2x?2x?511dx1x?11dx??arctan|??????x2?2x?5???(x?1)2?42219．
?1??【详解】
1????3?． ??(?)??2?42?810．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)? ． 【详解】当x??0,2?时，f(x)??2(x?1)dx?x2?2x?C，由f(0)?0可知C?0，即
f(x)?x2?2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)?f(?1)?f(1)?1．
11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11?? ．
?,?4?22?【详解】设F(x,y,z)?e2yz71?x?y2?z?，Fx?1,Fy?2ze2yz?2y,Fz?2ye2yz?1，当x?y?42时，z?0，
FyF11?z1?z1??x??，????，所以dz|?11???dx?dy．
?,?22?xFz2?yFz2?22?????,?处的切线方程为 ． 22??12．曲线L的极坐标方程为r??，则L在点(r,?)??【详解】先把曲线方程化为参数方程??x?r(?)cos???cos???，于是在??处，x?0,y?，
22?y?r(?)sin???sin??2dysin???cos?2????|??|???，则L在点(r,?)??,?处的切线方程为y???(x?0)，即
2?dx2cos???sin?2??22?y??2x??2?.
213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标
x? ．
11(?x?2x?x)dx?11?00【详解】质心坐标x?1． ?1?12?25?0?(x)dx?0(?x?2x?1)dx3201x?(x)dx1322214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围
Page 4 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714
是 ． 【详解】由配方法可知
2f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x32?(x1?ax3)2?(x2?2x3)2?(4?a2)x3
由于负惯性指数为1，故必须要求4?a?0，所以a的取值范围是??2,2?．
2三、解答题
15．（本题满分10分）
?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．
21t【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
x????limx1(t(e?1)?t)dtx2ln(1?1)x21t??limx???x1(t(e?1)?t)dtx21t?lim(x2(e?1)?x)x??1x
111??1?lim?x2(??o()?x??22x??x2xx??216．（本题满分10分）
已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y'?1?y'，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到(1?y)2dy?1?x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx可得方程通解为：
1312y?y?x?x3?C，由y(2)?0得C?， 333即
1312y?y?x?x3?． 333dy1?x2d2y?2x(1?y2)2?2y(1?x2)2 令； ??0，得x??1，且可知2?dx1?y2dx(1?y2)3当x?1时，可解得y?1，y\??1?0，函数取得极大值y?1； 当x??1时，可解得y?0，y\?2?0，函数取得极小值y?0． 17．（本题满分10分）
Page 5 of 11 更多考研资料分享+qq1032419714
2014年考研数学二真题与解析
