高中数学基础知识归类——献给2012年高三(理科)考生
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如：
{x|y?lgx}—函数的定义域；
{y|y?lgx}—函数的值域；
{(x,y)|y?lgx}—函数图象上的点集.
2.集合的性质： ①任何一个集合A是它本身的子集,记为A?A.
②空集是任何集合的子集,记为??A. ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A?B,在讨论的时候不要遗忘了A??的情况
如：A?{x|ax2?2x?1?0},如果AR???,求a的取值.(答：a?0)
④
CU(AB)?CUACUB,
CU(AB)?CUACUB；
（AB）C?A（BC）； （AB）C?A（BC）. ⑤
AB?A?AB?B?A?B?CUB?CUA?ACUB???CUAB?R.
⑥
AB元素的个数
：
card(AB)?cardA?cardB?card(AB). ⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为2n?1；非空真子集个数为2n?2.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c,使
f(c)?0,数p的取值围.(答：(?3,32))
4.原命题: p?q；逆命题: q?p；否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两
个命题是等价的.如：“sin??sin?”是“???”的 条件.(答：充分非必要条件)
5.若p?q且q??p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
6.注意命题p?q的否定与它的否命题的区别: 命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q.
命题“p或q”的否定是“?p且?q”；“p且q”的否定是“?p或?q”.
如：“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则a?b是奇数”
否定是“若a和b都是偶数,则a?b是奇数”.
7.常见结论的否定形式
二.函数
1.①映射f:A?B是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不
同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集?B).
②一一映射f:A?B： ⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都原结论 否定 原结否定 有
论 原是 不是 至少一个也象.
有一没有 2.
个 函都是 不都是 至多至少有数f:
有一两个 A?B个 是
大于 不大于 至少至多有特
有个 个 殊
nn?1小于 不小于 至多至少有的
有个 个 映
nn?1对所有,射.
x,存在某xp或q ?p且?q 成立 不成立 特对任何x,存在某x,p且q ?p或?q 不成立 成立
殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴
的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?0;偶次根式被开方数非负;对数真数?0,底数?0
且?1；零指数幂的底数?0)；实际问题有意义；若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义
域由a?g(x)?b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x?[a,b]时g(x)的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数
类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的围).
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
⑵若f(x)是偶函数,那么f(x)?f(?x)?f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)?0)；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或f(?x)f(x)??1(f(x)?0)；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“偶则偶，奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个
(如f(x)?0定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间有相反
的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数y?log(?x21?2x)2的单调递增区间是
_____________.(答：(1,2))
8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）；
上下平移----“上加下减”(注意是针对f(x)而言).⑵翻折变换：f(x)?|f(x)|；f(x)?f(|x|). ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②证明图像C1与C2的对称性,即证C1上任意
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