弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为?。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3?，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，则：
mg?k?，即：?n?k/m?g/?
取系统静平衡位置为原点x?0，系统运动方程为：
?mx&&?kx?0? （参考教材P14） ?x0?2??x&?0?0解得：x(t)?2?cos?nt
弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长V?0.85?0.65?0.2(m)
所以：?n?g9.8??7(rad/s) V0.2取系统的平衡位置为原点，得到：
&x??n2x?0 系统的运动微分方程为：&?x(0)??0.2其中，初始条件：? （参考教材P14）
&(0)?0?x所以系统的响应为：x(t)??0.2cos?nt(m)
mgx(t)??cos?nt(N) V2?因此：振幅为、周期为(s)、弹簧力最大值为1N。
7弹簧力为：Fk?kx(t)?
重物m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由落到m1上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x?0，则当m有x位移时，系统有：
12& ET?(m1?m2)x21 U?kx2
2
&&由d(ET?U)?0可知：(m1?m2)x?kx?0
即：?n?k/(m1?m2) ?x?m2g?0km系统的初始条件为：? 2&x??2gh?0m1?m2?（能量守恒得：m2gh?12&(m1?m2)x0）
2因此系统的响应为：x(t)?A0cos?nt?A1sin?nt
?A?x?m2g0?0k其中:?&xm2g2ghk 0???A1??km1?m2n?即：x(t)?
m2g2ghk(cos?nt?sin?nt) km1?m2 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。
解：取圆柱体的转角?为坐标，逆时针为正，静平衡位置时??0，则当m有?转角时，系统有：
1&1122&& ET?I??m(?r)2?(I?mr2)?2221 U?k(?r)2
2
&&?kr2??0 由d(ET?U)?0可知：(I?mr2)?即：?n?kr2/(I?mr2) （rad/s）
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
