概率论与数理统计练习题
一、选择题：
1．设n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率，则对任意
系 专业 班 姓名
第五章 大数定律与中心极限定理
学号
的? 0 均有lim P{ n ? p ? }
n??
n
（B） ? 1
[ A ]
（C） ? 0
（A） ? 0
（D） 不存在
[
B ]
2．设随机变量 X，若 E( X 2 ) ? 1.1, D( X ) ? 0.1 ，则一定有 （A） P{?1 ? X ? 1} ? 0.9
（B） P{0 ? X ? 2} ? 0.9 （D） P{| X } ? 1} ? 0.1
D ]
（C） P{| X ?1|? 1} ? 0.9
3． X1 , X 2 ,? , X1000 是同分布相互独立的随机变量， Xi ~ B(1, p) ，则下列不正确的是 [
（A）
X? p ? 1000
i
i?1
1
1000
b ?1000 p
a ?1000 p ) ) ? ?( （B） P{a ? ? Xi ? b} ? ?( 1000 pq 1000 pq i?1
1000 1000
1000
（C）
??X~ B(1000, p)
i?1
i
（D） P{a ?
??X? b} ? ?(b) ? ?(a)
i?1
i
二、填空题：
1. 对于随机变量 X，仅知其 E( X ) ? 3, D( X ) ?
1
25
，则可知 P{| X ? 3 |? 3} ??224 .
225
2. 设随机变量 X 和Y 的数学期望分别为? 2 和 2 ，方差分别为1和 4 ，而相关系数为? 0.5 ，则
根据契比雪夫不等式 P
?
1
X ? Y ? 6??? ? 12 .
三、计算题：
1. 设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为 0.5kg，均方差为 0.1kg，问 5000
只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？
DX ? 0.1.
解：设第i 件零件的重量为随机变量 Xi ，根据题意得 EXi ? 0.5,
1
E( ? Xi ) ? 5000 ? 0.5 ? 2500, D( ??Xi ) ? 5000 ? 0.01 ? 50.
i?1
i?1
5000 5000
5000
5000
P( Xi ? 2510) ? P( ??i?1
? 1? ?( 2) ? 1? 0.9207 ? 0.0793.
X??i?1
i
? 2500
10? ) 50 50
2. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在
(?0.5, 0.5) 上服从均匀分布。
（1） 若将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ （2） 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90 ？
1
解：（1） X ? U (?0.5, 0.5), E(? Xi ) ? 0, D(? Xi ) ? 1500 ? ? 125.
12 i?1 i?1
1500
1500
1500 P(| ??Xi |? 15) ? P( i?1
1500
X??i?1 ??125 i
15
) ? 2[1 ? ?( 3 5 )] ? 2[1 ? ?(1.3)] ? 0.18.
5 125
| ? Xi |
10 10) ? 0.90 ? ?( ) ? 0.95 . （2） P(| ? Xi |? 10) ? P( i?1 ??n n n i?1
12 12 12 n
n
根据? 的单调性得
1010
? 1.645 ，故 n ? 12 ?( )2 ? 443.4.
1.645 n 12 所以 n 最多为 443 个数相加.
3. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8，医院检验员任
意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。
（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：（1）令 Xi ? 1为第i 个病人治愈成功，反之则 Xi ? 0.
2
令Y ?
??X,Y ? B(100, 0.8), E(Y ) ? 80, D(Y ) ? 16.
i?1
i
100
P(Y ? 75) ? P(
Y ? 80 75 ? 805
? ) ? ?( ) ? 0.8944.
4 16 16
（2）令 Xi ? 1为第i 个病人治愈成功，反之则 Xi ? 0.
令Y ?
??X,Y ? B(100, 0.7), E(Y ) ? 70, D(Y ) ? 21.
i?1
i
100
P(Y ? 75) ? P(
Y ? 70 75 ? 705
? ) ? 1? ?( ) ? 0.1379. 21 21 21
4. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个
随机变量，它取 1 元、1.2 元、1.5 元各个值的概率分别为 0.3、0.2、0.5。某天售出 300 只蛋糕。
（1） 求收入至少 400 元的概率；
（2） 求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率。
解：（1）设 Xi (i=1,2,3…,300)为蛋糕的价格，其分布律为:
Xi 1 1.2 1.5
P 0.3 0.2 0.5
E( Xi ) ? 1? 0.3 ? 1.2 ? 0.2 ? 1.5 ? 0.5 ? 1.29
(i ? 1, 2, 3,?300)
(i ? 1, 2, 3,?300)
D( X i ) ? 1? 0.3 ? 1.44 ? 0.2 ? 2.25 ? 0.5 ? (1.29)2 ? 0.0489
记 X ? Xi
i?1
??
300
? X ? 300 ?1.29 400 ? 300 ?1.29 ??P( X ? 400) ? P ? ? ??300 0.0489 ??? 300 0.0489 ?
? X ? 300 ?1.29 400 ? 300 ?1.29 ??
? 1 ? P ? ? ??300 2.6409 ??? 300 2.6409 ? 1 ? ?(3.394) ? 1 ? 0.9997 ? 0.0003
记 Y 为售出蛋糕的价格为 1.2 元的数量，则Y ~ B(300, 0.2)
P(Y ? 60) ? 1 ? P(Y ? 60)
3
五、大数定律与中心极限定理(答案)(最新整理)
