课时作业(二十七)
π
1．(2020·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，则a在b方向上的投影
3为( )
A.3 C.2 2
B.2 D.3 2
答案 C
π2
解析 ∵a在b方向上的投影为|a|·cos
322．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，若|c|＝26，且a·b＝a·c，则c＝( ) A．(－4,7) C．(5,1) 答案 C
解析 设c＝(x，y)，|c|＝26，∴x＋y＝26① ∵a·b＝a·c，∴2×(－4)＋3×7＝2x＋3y②
??x＝5
联立①②，解之得?
?y＝1.?
2
2
B．(－5,1) D．(2,4)
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a，b＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为( ) A.C.32
2329 42
B.D.23 4321 16
答案 C
解析 由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，
即3ma＋(5m－3)a·b－5b＝0?3m·3＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×2＝0，解之得
2
2
2
2
m＝.
4．O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是( ) →→→→→→A.OA·OB
2942
→→→→→→D.OA·OB 如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O(1,1)， →→→→→→→→→则OA＝(－1,2)，OB＝(3，－1)，OC＝(－1，－1)，OA·OB＝－5，OA·OC＝－1，OB·OC＝－2. 5．(2020·广东理)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( ) A．4 C．2 答案 D 解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. →→→→→→→→→ 6．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于( ) A．25 C．－25 答案 C →→→ 解析 ∵|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5， →→→→→ 222 ∴|CA|＝|AB|＋|BC|，故∠B＝90°.则有AB·BC＝0. →→→→4 由BC·CA＝|BC||CA|cos(π－C)＝4×5×(－)＝－16， 5→ →→→3 CA·AB＝|CA||AB|cos(π－A)＝5×3×(－)＝－9， 5则原式＝0＋(－16)＋(－9)＝－25. B．24 D．－24 B．3 D．0 7．(2020·全国课标理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：2π2ππ |a＋b|>1?θ∈[0，) p2：|a＋b|>1?θ∈(，π] p3：|a－b|>1?θ∈[0，) p4： 333π |a－b|>1?θ∈(，π]其中的真命题是( ) 3 A．p1，p4 C．p2，p3 答案 A 122 解析 由|a＋b|>1可得：a＋2a·b＋b>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b>－，故θ∈ 22π2π1222 [0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|＝a＋2a·b＋b>1，即|a＋b|>1；由|a3321π22 －b|>1可得：a－2a·b＋b>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b<，故θ∈(，π]，反之也 23成立，选A. 8．(2020·辽宁理)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( ) A.2－1 C.2 答案 B 解析 由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a＝1，b＝1，c＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c＝1，因为|a＋b－c|＝a＋b＋c＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|＝3－2(a·c＋b·c)≥1，故|a＋b－c|≤1. →→→ 9．在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM＝2，则NO·(NA＋NB)＝________. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B．p1，p3 D．p2，p4 B．1 D．2 答案 －2 解析 → 如图，延长NM到点C，使得MC＝NM.连接AC、BC.根据向量的几何运算法则，可得NA＋→→→→→→→1→1→2 NB＝NC＝OM，而NO＝－OM，所以NO·(NA＋NB)＝－|OM|＝－2. 22 10．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于________． 13 答案 (，) 22 解析 令b＝(x，y)，注：也可设b＝(cosθ，sinθ)，则 22 ?x＋y＝1，y≠0 ①? ?3x＋y＝3， ② 将②代入①知 x2＋(3－3x)2＝1?x2＋3－6x＋3x2－1＝0， 13 解得x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝. 22 →→→→→→ 11．(2020·湖南理)在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________. 1 答案 － 4 →1→→→2→→ 解析 根据已知AD＝(AB＋AC)，BE＝AC－AB， 23 →→1→→2→→121→→1 所以AD·BE＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(－1－AB·AC)＝－. 232334 2π 12．(2020·江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2. 3若a·b＝0，则实数k的值为________． 5答案 4 解析 由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke1＋e1·e2－2ke1·e2－2e2＝0，2π2π5 即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝. 334 13．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|； →→ (3)若AB＝a，AC＝b，作△ABC，求△ABC的面积． 答案 (1)120° (2)13，37 (3)33 解析 (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 得4|a|－4a·b－3|b|＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6， ∴cosθ＝ 2 2 2 2 a·b－61 ＝＝－， |a|·|b|4×32 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)可先平方转化为向量的数量积． |a＋b|＝(a＋b)＝|a|＋2a·b＋|b| ＝4＋2×(－6)＋3＝13， ∴|a＋b|＝13. 同理，|a－b|＝a－2a·b＋b＝37. (3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值． 由(1)知∠BAC＝θ＝120°， →→ |AB|＝|a|＝4，|AC|＝|b|＝3， →1→ ∴S△ABC＝|AC|·|AB|·sin∠BAC 21 ＝×3×4×sin120°＝33. 2 π 14．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2 3与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围． 答案 (－7，－ 14141)∪(－，－) 222 2te1＋7e2·e1＋te2 <0， |2te1＋7e2||e1＋te2| 2 2 2 2 2 2 2 2 解析 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二十七) 理 新人教版
