《菱形的性质与判定》典型例题
例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE?AB,AB?a，求：
（1）?ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，CE?AB于E,CF?AD于 F．
求证：AE?AF.
例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，
?D??EAF?60?，?BAE?18?，求?CEF的度数.
例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD?DF． 求证：GH垂直平分CF．
例5 如图，且DE?CD?CF． ABCD中，AD?2AB，E、F在直线CD上，求证：BE?AF．
例6 如图，在Rt△ABC中，?ACB?90?，E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形．
求证：AC与DE互相垂直平分
参考答案
例1 分析 （1）由E为AB的中点，DE?AB，可知DE是AB的垂直平分线，从而AD?DB，且AD?AB，则?ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而AC?BD,AO?OC，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知S?1AC?BD. 2解 （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD?AB.
?E是AB的中点，且DE?AB，∴AD?DB. ∴?ABD是等边三角形，∴?DBC也是等边三角形． ∴?ABC?60??2?120?.
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分， ∴OB?111BD?AB?a. 22213a，∴AC?2AO?3a. ∴OA?AB2?OB2?a2?(a)2?22（3）菱形ABCD的面积S?1132AC?BD??3a?a?a. 222说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 分析 要证明AE?AF，可以先证明BE?DF，而根据菱形的有关性质不难证明?BCE??DCF，从而可以证得本题的结论．
证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴BC?CD,?B??D，且
?BEC??DFC?90?，∴?BCE??DCF，∴BE?DF，
?AB?AD，
∴AB?BE?AD?DF， ∴AE?AF. 例3 解答：连结AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∴?B??D?60?，AB?BC?CD?AD.
∴?ABC与?CDA为等边三角形. ∴AB?AC,?B??ACD??BAC?60? ∵?EAF?60?， ∴?BAE??CAF ∴?ABE??ACF ∴AE?AF ∵?EAF?60?， ∴?EAF为等边三角形. ∴?AEF?60?
∵?AEC??B??BAE??AEF??CEF， ∴60??18??60???CEF ∴?CEF?18?
说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证
?ABE??ACF
例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF．
证明：∵四边形ABCD、BEDF都是长方形
∴DE//BF，AB//CD，?DFH??BCD?90?，AD?BC ∴四边形BGDH是平行四边形 ∵AD?DF，∴DF?BC 在△DFH和△BCH中
??DFH??BCH???DHF??BHC ?DF?BC?∴△DFH≌△BCH ∴DH?BH，HF?HC ∵四边形BGDH是平行四边形 ∴四边形BGDH是菱形
∴GH平分?BHD ∴GH平分?FHC ∵HF?HC ∴GH垂直平分FC．
例5 分析 要证BE?AF，关键是要证明四边形ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB?CD，AG//BH，∴?1??E ∵CD?ED，∴AB?ED
??1??E?在△ABG和△EDG中 ??2??3
?AB?ED?∴△ABG≌△DEG ∴AG?GD ∵AD?2AB ∴AG?AB 同理：AB?BH ∴AG?BH ∵AG//BH
∴四边形ABHG是平行四边形 ∵AB?BH ∴四边形ABHG是菱形 ∴AF?BE．
例6 分析 要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形．所以要连结AD
证明 ∵在Rt△ABC中，E为AB的中点 ∴AE?CE?BE
∵四边形BCDE是平行四边形 ∴CD//AB，CD?BE ∴CD//AE，
∴四边形ABCE是平行四边形
∵AE?EC ∴ADCE是菱形 ∴AC与DE互相垂直平分．
菱形的性质与判定典型例题
