9．将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移
个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，
则实数的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析：根据三角函数的图象变换关系求出进行求解即可.
的解析式，结合三角函数的图象
详解：将函数图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到，然后向左平移，得到，
因为，所以，
当时，，函数的最大值为，
要使在上有两个不相等的实根，则
，故选C.
，
即实数的取值范围是
点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中求出函数的解析式以及利用整体转换法是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题. 10．若函数A． C． 【答案】D
【解析】分析：运用奇偶性的定义，将换为，解方程可得小关系.
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，计算可得所求大
，
分别是定义在上的偶函数，奇函数，且满足
B． D．
，则（ ）
详解：函数其满足
分别是定义在上的偶函数和奇函数， ，可得
，
解得，
可得，
，，
，所以，故选D.
点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中求出函数的解析式，利用函数的奇偶性和作差比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
11．已知，分别为椭圆限内的点，延长A．
B．
交椭圆于点，若
C．
的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象，且 D．
，则椭圆的离心率为（ ）
【答案】D
【解析】分析：由题意可得定义可得心率. 详解：由设
在直角三角形
且，即有中，可得
，可得
为等腰直角三角形， ，则，
,
为等腰直角三角形，设
，运用椭圆的
，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离
化为，可得，故选D.
点睛：本题考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的应用，及椭圆的离心率的求解，其中解答中运用椭圆的定义，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
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12．为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）
的棱长为1，如图所示，根据以
A． B． 【答案】B
C． D．
【解析】分析：在高度处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，解得椎体所得面积为，
，
，求出
，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可.
详解：在高度处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截， 记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为， 可得
，
，
由，可得，则，
所以该牟合方盖的体积为，故选B.
点睛：本题考查了不规则几何体的体积的求法，解答中由截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，解得椎体所得面积为
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，
求出，再由定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，
以及推理与运算能，属于中档试题.
二、填空题 13．已知【答案】28
【解析】分析：由已知求得，写出二项式展开式的通项，由的指数为求得的值，即可求解. 详解：由题意，所以取
，解得
，
，
.
的展开式各项系数之和为256，则展开式中含项的系数为__________．
，其展开式的通项为
，得展开式中含项的系数为
点睛：本题考查了指定项的二项式系数的求解，其中熟记二项展开式的通项是解答关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题. 14．设等差数列
的前项和为，若
，
，则公差
__________．
【答案】
【解析】分析：利用等差数列的通项公式与求和公式，即可求解. 详解：在等差数列
中，由
，
则，所以.
点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，其中数据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．在，则【答案】
中，，其面积为3，设点在__________．
内，且满足
，再利用平面向量的数量积的运算
【解析】分析：由三角形的面积公式，求得公式，进而可求解
的值.
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详解：由又由所以设
，
中，，其面积为，则
，即
，
，
，则，
则.
点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量数量积的坐标运算，即可求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 16．对
，
，使得不等式
成立，则实数的
取值范围是__________． 【答案】【解析】
分析：根据二次函数的性质计算
的最小值，从而得出与之间的关系，分
类讨论得出详解：由
，求出右侧函数的最大值，即可得出的范围.
，得
，
所以当时，取得最小值，
所以，
因为，所以，
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2024届山东省济南外国语学校高三上学期高考模拟（二）数学（理）试题（解析版）
